Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника

Кафедра алгебри та геометрії

Р. І. Собкович

Лекції з аналітичної геометрії

(для студентів, які навчаються за спеціальністю «математика»)

Івано-Франківськ

2010

Зміст

Лекція 1. Вектори. Лінійні операції над векторами. 1. Поняття вектора. Основні означення. Колінеарні та компланарні вектори. 2. Додавання та віднімання векторів. Властивості даних операцій. 3. Множення вектора на скаляр. Властивості. 4. Приклади розв’язання задач.

Лекція 2. Лінійна залежність та незалежність векторів. 1.Поняття лінійної залежності та незалежності векторів. Основні теореми. 2. Базис системи векторів. 3. Координати вектора. Дії над векторами в координатній формі. 4. Ортонормовані базиси. Довжина вектора. 5. Приклади розв’язання задач.

Лекція 3. Загальна афінна та прямокутна декартова системи координат. Координати точки. Поділ відрізка у даному відношенні. 1. Поняття загальної афінної системи координат. Координати точки. 2. Прямокутна декартова системи координат. Відстань між двома точками. 3. Поділ відрізка у даному відношенні. 4. Теорема Чеви.5. Приклади.

Лекції 4, 5. Скалярний, векторний та мішаний добутки векторів. Їх властивості та застосування. 1. Скалярний добуток двох векторів. Властивості. Застосування. 2. Означення векторного добутку. Основні властивості даної операції та її застосування до розв’язування задач. 3. Поняття мішаного добутку трьох векторів. Властивості. Застосування до розв’язування задач.

Лекція 6. Зв'язок між координатами точки в різних системах координат. Поняття порядку лінії та поверхні. 1. Зв'язок між координатами точки в різних системах координат на площині. 2. Зв'язок між координатами точки в різних системах координат у тривимірному просторі. 3. Поняття порядку лінії. 4. Поняття порядку поверхні. 5. Приклади.

Лекція 7. Пряма на площині. Різні способи задання прямої на площині. 1. Геометричні образи рівнянь першого степеня з двома змінними. 2. Різні способи задання прямої на площині. 3. Частинні випадки загального рівняння прямої. 4. Приклади.

Лекція 8. Взаємне розташування прямої та деяких геометричних фігур. 1. Відстань від точки до прямої. 2. Взаємне розташування кола та прямої. 3. Взаємне розташування двох прямих на площині. Умова паралельності. Кут між двома прямими. Умова перпендикулярності. 4. Відстань між двома паралельними прямими. 5. Геометричний зміст знаку виразу . 6. Пучок прямих. 7. Задачі.

Лекція 9. Різні способи задання прямої та площини в просторі. 1. Геометричні образи рівнянь першого степеня з трьома змінними. 2. Різні способи задання площини. 3. Загальне рівняння площини та його частинні випадки. 4. Різні способи задання прямої в просторі. 5. Задачі.

Лекція 10. Відстань від точки до площини. Взаємне розташування площин. 1. Відстань від точки до площини. 2. Геометричний зміст знаку виразу . 3. Взаємне розташування двох площин. Умова паралельності. Кут між двома площинами. Умова перпендикулярності. 4. Відстань між двома паралельними площинами. 5. Взаємне розташування трьох площин. 6. Приклади.

Лекція 11. Взаємне розташування прямої та площини. Дві прямі в просторі. 1. Пряма і площина в просторі. Кут між прямою та площиною. 2. Взаємне розташування двох прямих в просторі. 3. Рівняння спільного перпендикуляра. Відстань між двома мимобіжними прямими. 4. Задачі.

Лекція 12. Канонічні рівняння еліпса, гіперболи та параболи. 1. Поняття загального рівняння другого порядку. 2. Означення еліпса. Канонічне рівняння. Вирази для фокальних радіусів. 3. Означення гіперболи та її канонічне рівняння. Вирази для фокальних радіусів. 4. Означення параболи та її канонічне рівняння. 5. Приклади.

Лекції 13, 14. Вивчення властивостей еліпса, гіперболи та параболи за канонічними рівняннями. 1. Найпростіші властивості еліпса та його зображення. 2. Найпростіші властивості гіперболи та її зображення. 3. Властивості та зображення параболи. 4. Поняття ексцентриситету. 5. Поняття директрис. Директоріальна властивість ліній другого порядку. 6. Дотична до лінії другого порядку. 7. Оптичні властивості ліній другого порядку.

Лекція 15. Поняття полярних координат. Рівняння конічних перерізів у полярних координатах. 1. Поняття полярних координат. 2. Зв'язок між полярними та прямокутними декартовими координатами. 3. Відстань між двома точками та площа трикутника у полярних координатах. 4. Рівняння деяких ліній у полярних координатах. 5. Рівняння конічних перерізів. 6. Історія виникнення назви конічних перерізів.

Лекція 16. Деякі поверхні другого порядку. Їхні канонічні рівняння, властивості та зображення. 1. Загальне рівняння поверхні другого порядку. Сфера та її рівняння. 2. Дослідження поверхні другого порядку за допомогою плоских перерізів. 3. Еліпсоїд. Властивості. Зображення. 4. Однопорожнинний гіперболоїд. Властивості. Зображення. 5. Двопорожнинний гіперболоїд. Властивості. Зображення. 6. Еліптичний параболоїд. Властивості. Зображення. 7. Гіперболічний параболоїд. Властивості. Зображення.

Лекція 17. Циліндричні та конічні поверхні. Поверхні обертання. Прямолінійні твірні поверхонь другого порядку. 1. Поняття циліндричної поверхні. Рівняння циліндричних поверхонь. Приклади. 2. Поняття конічної поверхні. Рівняння конічних поверхонь. 3. Поверхні обертання. 4. Прямолінійні твірні поверхонь другого порядку. 5. Приклади розв’язання задач.

Лекція 18. Загальне рівняння лінії другого порядку. 1. Поняття загального рівняння лінії другого порядку. 2. Перетин лінії з прямою. Частинні випадки. 3. Центр лінії. 4. Рівняння дотичної та нормалі.

Лекції 19 – 20. Деякі властивості ліній другого порядку та їх застосування до зображення ліній. 1. Теорема про середини паралельних хорд лінії другого порядку. 2. Спряжені напрямки та спряжені діаметри. 3. Спряжені напрямки нецентральних ліній. 4. Головні напрямки та головні діаметри. Рівняння осей симетрії. 5. Рівняння асимптот лінії другого порядку. 6. Орієнтовна схема вивчення властивостей лінії другого порядку. 7. Приклади побудови ліній за їхніми рівняннями.

Лекція 21. Спрощення рівняння лінії другого порядку за допомогою геометричних перетворень. 1. Спрощення рівняння лінії за допомогою паралельного перенесення системи координат. 2. Спрощення рівняння лінії за допомогою повороту системи координат. 3. Застосування геометричних перетворень для побудови ліній другого порядку.

Лекція 22. Інваріанти рівняння кривої другого порядку. Застосування інваріантів для побудови ліній та їх класифікації. 1. Інваріанти рівняння лінії. 2. Характеристичне рівняння. 3. Класифікація ліній другого порядку. 4. Застосування інваріантів для побудови ліній другого порядку.

Лекція 23. Загальне рівняння поверхні другого порядку. 1. Поняття загального рівняння поверхні другого порядку. 2. Перетин поверхні з прямою. Частинні випадки. 3. Центр поверхні. 4. Рівняння дотичної площини та нормалі.

Лекція 24. Перетворення площини. 1. Поняття перетворення площини. Приклади перетворень площини. 2. Група геометричних перетворень та її підгрупи. 3. Композиції деяких геометричних перетворень.

Лекція 25. Афінні перетворення площини. 1. Поняття афінного перетворення площини. Група афінних перетворень. 2.Ввластивості афінних перетворень. 3. Афінна еквівалентність фігур. 4. Відношення площ афінно еквівалентних фігур.

Лекція 26. Переміщення. Їх властивості та застосування. 1. Поняття переміщення. Способи задання переміщень. 2. Властивості рухів. 3. Частинні випадки рухів. 4. Представлення рухів у вигляді композиції осьових симетрій. 5. Приклади задач, розв’язання яких ґрунтується на застосуванні переміщень.

Лекція 27. Перетворення подібності. 1. Гомотетія. Означення. Способи задання. 2. Властивості гомотетій. 3. Перетворення подібності. Властивості. Аналітичне задання. 4. Приклади задач.

Лекція 28. Інверсія. Властивості та застосування. 1.Означення інверсії Найпростіші властивості. Побудова інверсних точок. 2. Аналітичне задання інверсії та деякі інші її властивості. 3. Приклади задач, розв’язання яких ґрунтується на застосуванні інверсії.

Лекція 1

Вектори. Лінійні операції над векторами.

План.

1. Поняття вектора. Основні означення. Колінеарні та компланарні вектори.

2. Додавання та віднімання векторів. Властивості даних операцій.

3. Множення вектора на скаляр. Властивості.

4. Приклади розв’язання задач.

1. Із курсу елементарної фізики відомо, що деякі фізичні величини, зокрема такі, як довжина, площа, об’єм, температура, маса, густина, відстань виражаються певним числом, яке характеризує відношення цієї величини до відповідної одиниці вимірювання. Такі величини називають скалярними. Для оцінки ряду інших величин (сили, переміщення, швидкості, прискорення та ін.) одного числа недостатньо. Крім кількісної оцінки вони характеризуються також направленістю у просторі. Такі величини називають векторними. Абстрагуючись від конкретних фізичних величин, введемо математичне поняття геометричного вектора або просто вектора.

Означення 1. Вектором називається напрямлений відрізок.

Вектор визначається впорядкованою парою точок. Перша з них називається початком, друга – кінцем вектора. Якщо початком вектора є точка , а кінцем точка , то його позначають символом . Іноді використовують позначення у вигляді малої букви латинського алфавіту (наприклад, ). На рисунку вектор зображають відрізком із стрілкою в кінці вектора.

Вектор, початок та кінець якого співпадають, називається нульовим і позначається грецькою буквою (тета).

Основними характеристиками, які визначають вектор, є його довжина та напрям.

Довжиною (модулем) вектора називають довжину відрізка, яким він зображається. Позначають довжину вектора символом Наприклад, . Якщо довжина вектора дорівнює одиниці, то його називають одиничним або ортом. Очевидно, що .

Під напрямом вектора розуміють напрям променя . Нульовому вектору присвоюють довільний напрям.

Будемо говорити, що деякий вектор паралельний до прямої (площини), якщо до цієї прямої (площини) паралельний відрізок, яким визначається даний вектор.

Означення 2. Два вектори називають колінеарними, якщо вони паралельні деякій прямій.

Означення 3. Три вектори називають компланарними, якщо вони паралельні деякій площині.

Означення 4. Два колінеарних вектори називають однаково (протилежно) напрямленими, якщо вони лежать в одній півплощині (у різних півплощинах) відносно прямої, яка сполучає їхні початки.

Означенням 4 не можна скористатися, якщо два вектори лежать на одній прямій. Тому домовимося, що якщо два вектори та лежать на одній прямій, то вони будуть однаково напрямленими у тому випадку, коли всі точки одного із променів або належать іншому. У випадку, коли жоден із променів та цілком не належить іншому, вектори та називатимемо протилежно напрямленими.

Однаково напрямлені вектори та позначають символом . Протилежно напрямлені вектори та позначають .

На рисунку 1 зображено трикутник, у якому відрізок є середньою лінією. Вектори та є колінеарними. Вони протилежно напрямлені. На рисунку 2 зображено куб. Вектори та компланарні. Трійка векторів та є прикладом трьох не компланарних векторів.

Два вектори, які мають однакові довжини та протилежні напрямки, називають протилежними.

Протилежним до вектора є вектор . Вектор, протилежний до , позначають символом . Доцільність саме такого позначення стане зрозумілою після введення у пункті 3 означення добутку вектора на число. Протилежним до вектора є, наприклад, вектор (рис. 1).

Означення 5. Два вектори називають рівними, якщо вони однаково напрямлені та мають рівні довжини.

Умову рівності векторів та записують так: . Від будь-якої точки площини чи простору можна відкласти вектор, рівний даному і причому тільки один. На рисунку 3 зображено ромб , на якому зображені рівні вектори = та протилежні вектори і . Вектори та , незважаючи на рівність довжин відрізків та , не рівні, оскільки вони мають різні напрямки.

2. Введемо означення лінійних операцій над векторами. Під лінійними операціями над векторами розуміють дії додавання та віднімання векторів, а також множення їх на числа.

Означення 6. Сумою векторів та називають вектор, проведений з початку вектора до кінця вектора при умові, що кінець вектора співпадає з початком вектора (рис. 4).

Суму векторів та позначають символом . Для довільних трьох точок та , згідно із означенням суми векторів, виконується рівність .

Означений таким чином спосіб додавання векторів називають “правилом трикутника”.

Якщо вектори та відкласти із спільного початку та на одержаних відрізках, як на сторонах, побудувати паралелограм, то вектор, який співпадає з діагоналлю та має початок у спільному початку даних векторів, буде їхньою сумою (рис. 5). Такий спосіб знаходження суми векторів називається “правилом паралелограма” Очевидно, що додавання векторів за “правилом трикутника” та “правилом паралелограма” дають у результаті один і той же вектор.

Послідовне додавання векторів …, у результаті дає вектор . В математиці такі суми записують за допомогою великої грецької букви (сигма). Зокрема, попередню рівність можна записати у виді

.

Якщо , то це означає, що точки та співпадають, тобто многокутник замкнутий.

Очевидно, що для довільного трикутника виконується рівність . Навпаки, якщо дано три вектори та , серед яких є хоча б два не колінеарних, то із них можна утворити трикутник, якщо виконується рівність , або коли один із векторів є сумою двох інших.

Зупинимося на деяких властивостях операції додавання векторів. Зокрема,

1) (комутативність додавання або переставна властивість);

2) (асоціативність додавання або сполучна властивість);

3) ;

4) .

Доведення властивості 1) випливає із рисунка 5.

Для доведення властивості 2) покладемо . Тоді

, , , , тобто .

Доведення властивостей 3) та 4) очевидне.

Означення 7. Різницею векторів та називають вектор , який є розв’язком рівняння .

Такий розв’язок завжди існує та єдиний. Справді, розглянемо вектор . Підставляючи його у рівняння та використовуючи властивості 2), 4) і 3), встановлюємо, що він є розв’язком рівняння. Нехай деякий інший вектор є розв’язком рівняння, тобто виконується рівність . Тоді , звідки отримуємо .

Різницю векторів та записують у виді . Запис , згідно з означенням різниці векторів, означає, що . Звідси випливає спосіб побудови вектора , який є різницею векторів та , а саме: вектори та відкладають із спільного початку, а потім, сполучивши кінці векторів , та вибравши напрям шуканого вектора від кінця до кінця вектора , одержують вектор (рис. 6). Очевидно, що різницю векторів та можна одержати, додаючи вектори та (рис. 7), тобто для різниці векторів виконується рівність .

3. Нехай заданий деякий вектор та дійсне число .

Означення 8. Добутком вектора на число називають вектор , який задовольняє наступним умовам:

1) довжина цього вектора ,

2) , якщо та , якщо .

При згідно з пунктом 1) означення , тому результатом множення довільного вектора на 0 є нульовий вектор . Добуток вектора на число записують у виді .

Множення вектора на число має ряд властивостей. Виділимо серед них наступні:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) (асоціативність множення відносно числових множників та );

6) (дистрибутивність множення відносно числового множника);

7) (дистрибутивність множення відносно векторного множника).

Доведення властивостей 1) – 4) очевидне. Для доведення властивості 5) потрібно розглянути наступні випадки: а) ; б) ; в) ; г) ; д) одне з чисел l i t або обидва ці числа дорівнюють нулю. У випадку а), оскільки , то . Враховуючи те, що , дістаємо, що . Отже, . Очевидно, що , тобто вектори та однаково напрямлені. Рівність їхніх довжин випливає із рівності . Згідно з означенням рівності векторів властивість 5) у випадку а) доведена. Випадки б), в) та г) розглядаються аналогічно. У випадку д) рівність 5) виконується, оскільки обидві частини рівності є нульовими векторами. Властивість 6) випливає із подібності трикутників та (див. рис. 8 при та рис. 9 при ). Доведення властивості 6) при очевидне.

Для доведення властивості 7) потрібно розглянути випадки, коли числа та l одного знаку (обидва додатні або від’ємні ) або різних знаків. Нехай та . Тоді і . Вектори та протилежно напрямлені, а також . Тому Вектор має напрям вектора , тобто спів напрямлений з вектором . Отже, в обох частинах рівності 7) маємо спів напрямлені вектори однакової довжини, тобто ці вектори рівні.

Аналогічно розглядається випадок та випадок, коли . Якщо одне із чисел t або l рівне нулю, або вони обидва дорівнюють нулю, то рівність 7) очевидна.

Рис. 8 Рис. 9

Зауважимо, що якщо , то вектор одиничний і однаково напрямлений із вектором . Справді, .

Якщо задані два ненульові вектори та , то вектори та матимуть однакові довжини . Вектор + задає напрям бісектриси кута, утвореного векторами та , оскільки він матиме напрям діагоналі паралелограма, побудованого на векторах і , який є ромбом.

4. Наведемо приклади розв’язання задач.

З адача 1. Довести, що точка є центром ваги трикутника (точкою перетину медіан) тоді і тільки тоді, коли виконується рівність .

Доведення. Нехай точка є точкою перетину медіан та (рис. 10). Тоді , де – діагональ паралелограма . Оскільки точка – середина відрізків та , то . За відомою властивістю медіан трикутника , тому . Отже, .

Навпаки, нехай виконується рівність , тобто . Тоді , де – середина відрізка . З рівності випливає, що точки та лежать на одній прямій, а також, що – медіана трикутника . Оскільки , то точка є точкою перетину медіан.

Задача 2. У п’ятикутнику ABCDE точки K,L,M,N – середини відповідно сторін AB, BC, CD та DE, а точки R і S – середини відрізків KM та LN. Довести, що та (рис. 11).

Доведення. Введемо позначення:

.

Тоді

. Знайдемо вектор .

.

Оскільки

та

,

то

.

Із одержаної векторної рівності випливає, що та .

Задача 3. В опуклому чотирикутнику точки та – відповідно середини сторін і . Довести, що якщо , то .

Доведення. Очевидно, що та . Додавши одержані рівності, дістаємо , звідки . Але за умовою . Рівність можлива тільки тоді, коли вектори та спів напрямлені, тобто, коли відрізки та паралельні. Отже, .

Задача 3. Що можна сказати про два ненульові вектори та , для яких виконується одна із рівностей: 1) , 2) , 3) ?

Розв’язання. 1). Вектори та співпадають із діагоналями паралелограма, побудованого на векторах та . Оскільки, згідно із умовою задачі, довжини цих діагоналей рівні, то паралелограм є прямокутником. Отже, вектори та перпендикулярні. 2)-3). Із нерівності трикутника випливає, що вектори та колінеарні. Рівність 2) можлива тільки у випадку, коли дані вектори спів напрямлені. Рівність 3) виконується при умові, коли вектори напрямлені протилежно, причому довжина вектора більша або дорівнює довжині вектора .