
- •Предисловие
- •Глава 1. Z – преобразование и его применение
- •1.1. Преобразование Лорана и его свойства
- •1.2. Решение линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами и систем уравнений с помощью z - преобразования
- •Глава 2. Выполнение лабораторной работы по
- •2.1. Решение линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами с использованием среды MathCad
- •2.2. Решение систем линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами с использованием среды MathCad
- •Глава 3. Уравнение с одним неизвестным и методы его численного решения
- •Метод дихотомии
- •3.2. Метод простой итерации решения одного нелинейного уравнения с одним неизвестным
- •3.3. Метод хорд
- •Метод Ньютона
- •Выполнение первой части лабораторной работы по теме «Численные методы решения нелинейных уравнений и систем»
- •Глава 4. Решение систем нелинейных уравнений
- •1. Метод итераций
- •Метод Ньютона
- •Литература
- •Содержание
- •Глава 1. Z – преобразование и его применение
- •Глава 2. Выполнение лабораторной работы по z - преобразованию в среде mathcad
- •Глава 3. Уравнение с одним неизвестным и методы его численного решения
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ
_______________
МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
(государственный технический университет)
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ
Методические указания к выполнению лабораторных работ в среде MathCad
Москва
Издательство МАИ
2009
Приводится описание лабораторных работ, выполняемых в среде MathCad. Рассматривается применение z-преобразования к решению разностных уравнений и систем уравнений. Кроме того, рассмотрены численные методы решения алгебраических уравнений и систем.
Предназначено для студентов факультета «Системы управления информатики и электроэнергетики».
© Московский авиационный институт, 2009
Предисловие
Настоящее пособие содержит общие теоретические сведения по z – преобразованию, которое называется также преобразованием Лорана и применению его к решению разностных уравнений и систем уравнений. Изложению этих теоретических сведений посвящена первая глава. Во второй главе формулируются варианты домашнего вычислительного задания, приводятся примеры решения разностных уравнений и систем, а также рассматриваются примеры решения этих уравнений в среде MathCad. Третья глава посвящена описанию численных методов решения алгебраических уравнений с одним неизвестным. В четвертой главе приводятся некоторые методы численного решения систем алгебраических уравнений.
Глава 1. Z – преобразование и его применение
В этой главе дается понятие z – преобразования, которое называется также преобразованием Лорана, и рассматриваются его свойства.
1.1. Преобразование Лорана и его свойства
Пусть задана
последовательность
комплексных чисел, удовлетворяющая
условию:
,
для некоторых чисел
. (1.1)
Такую последовательность будем называть последовательностью-оригиналом.
Изображением по
Лорану (z-преобразованием),
соответствующим оригиналу
,
называется функция комплексного
переменного
. (1.2)
Соответствие между
оригиналом и изображением будем
обозначать знаком
.
При выполнении условия (1.1) последовательности
соответствует функция
аналитическая во внешности круга
.
Обратно, каждая такая функция однозначно
определяет последовательность
,
которую можно найти одним из следующих
способов.
Так как правую часть (1.2) можно рассматривать как ряд Лорана функции , то по формуле для коэффициентов ряда Лорана, находим
. (1.3)
Так как ряд
представляет собой ряд Тейлора функции
, то согласно формуле для коэффициентов ряда Тейлора, находим
.
Согласно основной теореме теории вычетов, из формулы (1.3) следует
,
где сумма
распространяется на все особые точки
функции
.
При применении z-преобразования, важно знать, какие операции над изображениями соответствую определенным действиям над последовательностями-оригиналами и наоборот.
Теорема 1.1 (теорема
линейности). Пусть
- оригиналы, а
- их изображения. Тогда
.
Теорема 1.2
(теорема
опережения).
Если
,
то
Доказательство. По определению z-преобразования, имеем
.
Теорема доказана.
Теорема 1.3 (теорема
о свертке).
Если
- оригиналы, а
- их изображения, то
.
Доказательство.
Перемножая
и
,
получаем
.
Теорема доказана.
Теорема 1.4 (дифференцирование изображения). Пусть . Тогда
.
В следующей таблице приведены некоторые последовательности-оригиналы и их изображения.
Таблица 1.1. Соответствия при z-преобразовании
№ |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
Пример.
Найти z-преобразование
последовательности-оригинала
.
Решение. По формуле Эйлера имеем
.