Тема 15. Познавательные процессы: виды и развитие

реннем плане, опираясь при этом на глубоко личные и наиболее новые из своих мыслей. Следовательно, утверждение, что индивид овладевает логикой только благодаря кооперации, сводится просто к принятию те­зиса, что сложившееся у него равновесие операций основывается на его бесконечной способности к взаимодействию с другими индивидами, т.е. на полной реципрокности. Однако этот тезис совершенно очевиден, по­скольку сама по себе «группировка» есть система реципрокностей.

Более того, можно сказать, что и интеллектуальный обмен между индивидами представляет собой, по сути дела, систему приведений в со­ответствие, т.е. совершенно точно определенные группировки: такому-то отношению, установленному с точки зрения А, соответствует (как резуль­тат обмена) такое-то отношение с точки зрения В, а такая-то операция, осуществленная А, соответствует такой-то операции, осуществленной В (независимо от того, эквивалентна ли она первой операции или просто реципрокна с ней). Именно эти соответствия определяют согласие (или несогласие, когда речь идет о несоответствии) партнеров относительно каждого высказывания, выдвинутого А или В; их можно рассматривать как обязательства, которые берут на себя партнеры для сохранения при­нятых высказываний и приписывания им в течение длительного проме­жутка времени единого значения: и то и другое необходимо для по­следующих обменов. Интеллектуальный обмен между индивидами мож­но сравнить с огромной по своим размерам и непрерывной партией в шахматы, где каждое действие, совершенное в одном пункте, влечет за собой серию эквивалентных или дополнительных действий со стороны партнеров; законы группировки — это не что иное, как различные пра­вила, обеспечивающие реципрокность игроков и согласованность (cohe­rence) их игры.

Точнее, следовало бы сказать, что каждая группировка, будучи внут­ренней для индивида, есть система операций, а кооперация образует сис­тему операций, осуществляемых сообща, т.е. систему операций в собствен­ном смысле слова.

Однако отсюда еще не следует, что законы группировки определя­ют одновременно как законы кооперации, так и законы индивидуальной мысли. Они составляют, как мы уже говорили, всего лишь законы рав­новесия и выражают просто ту частную форму равновесия, которая реа­лизуется при двух условиях: во-первых, когда общество уже не дефор­мирует индивида своим принуждением, а воодушевляет и поддерживает свободное функционирование его психической деятельности; во-вторых, когда такое свободное функционирование мысли каждого индивида, в свою очередь, уже не деформирует ни мысли других индивидов, ни вещи, а базируется на реципрокности между различными деятельностями. В соответствии с этим определением, такая форма равновесия не может рассматриваться ни как результат одной лишь индивидуальной мысли­тельной деятельности, ни как исключительно социальный продукт: внут-

Пиаже Ж. Психология интеллекта

317

ренняя операциональная деятельность и внешняя кооперация являются, в самом точном смысле слова, двумя дополняющими аспектами одного и того же целого, ибо равновесие одного зависит от равновесия другого. Более того, поскольку в реальной действительности равновесие никогда не достигается полностью, мы вынуждены рассматривать определенную идеальную форму, которую бы оно приняло, если бы было реализовано, и именно это идеальное равновесие аксиоматически описывает логика. Логик оперирует, таким образом, в области идеального (в противопо­ложность реальному) и имеет на это право, потому что равновесие, кото­рое он изучает, никогда не может быть полностью реализовано; напро­тив, новые эффективные построения делают его достижение все более и более отдаленным. Что же касается социологов и психологов, то когда они исследуют, каким образом фактически осуществляется это урав­новешивание, им не остается ничего другого, как прибегать к помощи друг друга.

С.С. Стивене

ПОНЯТИЕ ГРУППЫ¹

Рассмотрим теперь некоторые другие вопросы из той области, ко­торую Рассел называет философией математики, противопоставляя ее ма­тематике как практическому искусству обращения с математическими символами и операциями. Углубляясь в самое основание предмета изу­чения, с тем чтобы вскрыть, какие понятия являются фундаментальными, мы приходим, как уже видели выше, к некоторым очень простым и в то же время плодотворным идеям. Очевидность некоторых из этих понятий отнюдь не умаляет их важности. Здесь уместно привести слова Д'Арси Томпсона, писавшего, что физика «...заставляет нас вспомнить о том, что ... великие люди посвящали себя ей для того, чтобы открыть простые вещи»³. То же самое можно, конечно, сказать и о математике.

Два из наиболее фундаментальных понятий математики были упо­мянуты выше. Это понятия класса элементов и взаимно-однозначного соответствия, или изоморфизма. Третьим является понятие математиче­ской группы, а четвертым — тесно связанное с ним понятие инвариант­ности. Прежде всего мы постараемся уяснить, что математики имеют в виду под группой.

Теория групп существует немногим более ста лет, но она уже осве­тила многие проблемы как алгебры, так и геометрии. Быть может, эта тео­рия не представляет собой своего рода «сезам, откройся» [т.е. средства раз­решения всех проблем. — Ред.-сост.], как это думали в период расцвета ее славы, когда доказательство того, что какая-либо теория подчиняется по­стулатам теории групп, рассматривалось как важное достижение³. Однако группа — это все же очень важное понятие. В ходе дальнейшего изложе­ния мы еще будем использовать его при рассмотрении проблемы подыека-

¹ Стивене С.С. Математика, измерение и психофизика // Экспериментальная психо­ логия / Ред.-сост. С.С.Стивенс. М.: Изд-во иностранной литературы, 1960. С. 43-46.

² Thompson D'Arcy W. On growth and form. N. Y.: Macmillan, 1942. P. 13.

⁸ Cp. Bell E.T. The development of mathematics. N. Y.: MacGraw-Hill, 1945. P. 446.

Стивенс С.С. Понятие группы

319

ния шкал для измерения. Группа в математике есть множество операций. Эти операции делает группой тот факт, что две операции, следующие одна за другой, приводят к такому же результату, к какому могла бы привести некоторая третья операция. Это, конечно, весьма расплывчатое определение, и мы вынуждены будем придать ему более определенный вид, рассмотрев один пример.

Возьмем порядок игры бейсбольной команды. В ней имеется девять игроков, расставляемых на поле в таком порядке, который тренер находит наиболее целесообразным. Допустим, что игра команды разладилась и тре­нер считает необходимым изменить игровой порядок в команде. Он дела­ет это путем перестановки игроков. Ясно, что каждый из 362 880 [= 9! — Ред.-сост.] возможных порядков может быть получен следующим обра­зом: приняв какой-либо один порядок расположения игроков за исходный, тренер изменяет его, последовательно переставляя в этом порядке одного игрока на место другого. Он может поставить центрального нападающего на место защитника (место № 4) путем замены первого вторым, затем вто­рого третьим и, наконец, третьего четвертым. Таким способом централь­ный нападающий оказывается на месте N° 4. Затем с целью передвижения защитника (который теперь занимает место № 3) на место № 1 тренер дол­жен поменять местами находящихся на № 3 и 2, а также № 2 и 1. В резуль­тате этих пяти отдельных перемещений получается такой же игровой по­рядок, который получился бы в том случае, если бы тренер просто поменял местами игроков № 1 и 4.

Отсюда мы видим, что некоторые комбинации операций эквива­лентны другим комбинациям операций.

На неспециалиста все это производит впечатление тривиальной и оче­видной истины, и его очень удивляет, что это простое понятие, лежащее в основе теории групп перестановок, оказалось для Э.Галуа крайне важным при решении им давно уже стоявшей перед математиками задачи о разре­шимости уравнений. Эти простые группы перестановок находят себе приме­нение даже в современной физике — при описании структуры атома.

Мы вводим понятие группы таким же способом, какой уже исполь­зовали в алгебре, а именно устанавливаем постулаты (требования), ко­торым должно удовлетворять множество операций, для того чтобы его можно было бы назвать «группой».

Прежде всего мы допускаем, что нам дано множество элементов (операций) а, b, с... и символ о, обозначающий их комбинацию. Далее мы полагаем, что это множество подчиняется перечисленным в табл. 1 по­стулатам¹. <...>

<...> Многие различные виды операций образуют группы². Таковы группы перестановок игроков в игровых порядках, электронов, вращаю-

¹ Ср. Harkin D. Fundamental mathematics. N. Y.: Prentice-Hall, 1941. P. 98.

² См.: Blrkhoff G., MacLane S. A survey of modern algebra. N. Y.: Macmillan, 1941.

320