Лекция 4 §10 Формула Пуассона или формула редких явлений

Формула Бернулли требует громоздких расчетов при большом количестве испытаний. Можно получить более удобную для расчетов приближенную формулу, если при большом числе испытаний вероятность появления А в одном опыте мала, а произведение сохраняет постоянное значение для разных серий опытов (то есть среднее число появлений события А в разных сериях испытаний остается неизменным).

Теорема. Пусть производится n независимых опытов. В результате каждого опыта событие А может наступить с вероятностью р. Пусть , произведение постоянно, тогда справедлива формула: , где k не меняется.

Или – формула Пуассона, где .

Доказательство. Применим формулу Бернулли:

Найдем предел полученного выражения при

Таким образом, формула Пуассона позволяет найти вероятность k появлений события А для массовых (когда п велико) и редких (когда р мало) событий.

Для вычисления дробей существуют специальные таблицы (см. Приложение 1). Чтобы ими пользоваться, надо знать и (число успехов).

Задача. Прядильщица обслуживает 1000 веретён. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение 1 минуты обрыв произойдет на 5-ти веретенах.

Решение. По условию, , , . Найдем . По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна: .

§11 Локальная и интегральная формулы Лапласа

Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над очень большими числами.

Пример. Если , , ; , то вероятность того, что при n испытаниях событие A осуществляется ровно раз и не осуществляется, раз примет вид: .

При вычислении факториала для больших чисел можно пользоваться специальными таблицами логарифмов факториалов, но из-за округлений в итоге окончательный результат может значительно отличаться от истинного. В этом случае удобно пользоваться формулами Лапласа.

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие A появиться в испытаниях ровно раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше ) значению функции:

(1) – локальная формула Лапласа,

где , .

Замечание. При нахождении значений функции для отрицательных значений аргументов следует иметь в виду, что – четная функция: .

Для вычисления значений функции пользуются специальной таблицей (см. Приложение 2).

Задача 1. Найти вероятность того, что при 400 испытаниях событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2.

Решение. По условию, ; ; , тогда q = 1 – 0,2 = 0,8. Применим локальную формулу Лапласа:

; .

Тогда .

Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие A появится в n испытаниях от k₁ до k₂ раз, приближенно равна: (2),

где , , – «неберущийся» интеграл.

Функция называется функцией Лапласа, при решении используют соответствующую таблицу значений для функции (см. Приложение 3).

Замечание. При нахождении значений функции и для отрицательных значений аргументов следует иметь в виду, что – четная: = , а – нечетная: = .

Отметим еще, что приближенными формулами Лапласа (1) и (2) на практике пользуются в случае, если npq  10. Если же npq < 10, то эти формулы приводят к довольно большим погрешностям.

Задача 2. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена:

а) не менее 70 и не более 80 раз;

б) не более 70 раз.

Решение.

а) По условию k₁ = 70, k₂ = 80, , . Тогда ,

, ,

.

Значение функции Лапласа находим по таблице. Мы получили значение 1,1547, в таблице даны значения Ф(1,15) = 0,3749 и Ф(1,16) = 0,3770. В качестве ответа можно взять любое из этих значений или их среднеарифметическое {ответ будет приблизительно одинаковый}:

р₁₀₀(70;80)  2Ф(1,1547)  2(Ф(1,15) + Ф(1,16))/2 = 0,7519.

б) По условию k₁ = 0, k₂ = 70. Тогда

,

р₁₀₀( )  Ф(x₂) – Ф(x₁) = Ф(–1,1547) – Ф(–17,32) = Ф(17,32) – Ф(1,1547).

Значение функции Лапласа находим по таблице. В таблице приведены значения интеграла лишь для , тогда для можно принять значение функции Лапласа .

р₁₀₀(0;70)  0,5 – 0,3749 = 0,1251.