4.1. Размещения без повторений

Определение. Размещением из п элементов по k называется любое упорядоченное множество, содержащие k элементов из данных n, то есть k ≤ n. Число всех возможных размещений обозначают символом .

Теорема. Число всех размещений находится по формуле:

Задача 3. Предположим, в соревнованиях участвуют 20 спортсменов. Разыгрывается золотая, серебряная и бронзовая медали. Сколькими способами могут определиться призеры?

Решение. Нужно сначала определить тройку призеров. Кроме того, медали среди них могут быть распределены по-разному. Таким образом, речь идет об упорядоченных наборах из трех элементов. Число таких наборов:

Задача 4. Сколько возможно различных вариантов пьедестала почета (первое, второе, третье места), если в соревнованиях принимают участие 10 человек?

Решение.

4.2. Перестановки без повторений

Определение. Перестановкой из п элементов называется упорядоченное множество, содержащие все n элементов. Число всех возможных перестановок обозначают символом .

Теорема. Число всех перестановок находится по формуле:

Задача 5. Сколькими способами на книжной полке можно расставить 6 книг?

Решение. Один способ отличается от другого только порядком расположения книг. Значит, мы имеем дело с перестановками .

Задача 6. Сколько различных списков (отличающихся порядком фамилий) можно составить из 7 различных фамилий?

Решение. Р₇ = 7! = 2·3·4·5·6·7 = 5040.

4.3. Сочетания без повторений

Определение. Сочетанием из n элементов по k называется неупорядо­ченное множество, содержащее k элементов из данных n (то есть наборы, отличающиеся только составом элементов). Число всех сочетаний обозначают символом .

Теорема. Число всех сочетаний находится по формуле:

Задача 7. На почте имеется 10 различных открыток. Сколькими способами можно сделать покупку из трех открыток?

Решение. В этом примере речь идет о неупорядоченных наборах из трех элементов. Число способов равно

Пример 8. В отборочных соревнованиях принимают участие 12 человек, из которых в финал выходят трое. Сколько может быть различных троек финалистов?

Решение. Здесь не важен порядок финалистов, следовательно, ищем число сочетаний из 12 по 3:

4.4. Перестановки с повторениями

Рассмотрим следующую задачу: предположим, что мы имеем k элементов (a, b, c,…, l). Будем составлять из этих элементов упорядоченные наборы, в которых элемент a входит раз, b – раз, …, l – раз.

При этом . В этом случае говорят, что рассматриваются перестановки с повторениями. Число таких перестановок обозначают .

Теорема. Число перестановок с повторениями находится по формуле:

.

Задача 9. Сколько различных слов можно составить, используя буквы П, А, П, А?

Решение. В этом случае не любая перестановка букв даст новое слово, поэтому здесь речь идет о перестановках с повторениями, где n – количество букв, n₁ = 2 (число появления буквы «п»), n₂ = 2 (число появления буквы «а»), тогда .

4.5. Размещения с повторениями

Предположим, рассматриваются упорядоченные наборы, содержащие k – элементов из данных n, при этом каждый элемент может входить в набор несколько раз (от 0 до k). В этом случае говорят, что рассматриваются размещения с повторениями. Число таких размещений обозначают .

Теорема. Число размещений с повторениями находится по формуле:

.

В этом случае k может быть и больше n.

Задача 10. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1 и 2?

Решение. 111, 112, 121, 211, 122, 212, 221, 222 – вручную составили 8 всех возможных трехзначных чисел. Это же можно показать, используя формулу размещения с повторениями: .