§3 Классическое определение вероятности. Свойства вероятности
При изучении случайных событий возникает необходимость количественно сравнивать возможность их появления в результате опыта. Например, при последовательном извлечении из колоды пяти карт более возможна ситуация, когда появились карты разных мастей, чем появление пяти карт одной масти; при десяти бросках монеты более возможно чередование гербов и цифр, нежели выпадение подряд десяти гербов, и т.д. Поэтому с каждым таким событием связывают по определенному правилу некоторое число, которое тем больше, чем более возможно событие. Это число называется вероятностью события и является вторым основным понятием теории вероятностей.
Отметим, что само понятие вероятности, как и понятие случайного события, является аксиоматическим и поэтому не поддается строгому определению. То, что в дальнейшем будет называться различными определениями вероятности, представляет собой способы вычисления этой величины.
Определение. Если все события, которые могут произойти в результате данного опыта,
а) попарно несовместны;
б) равновозможны;
в) образуют полную группу,
то говорят, что имеет место схема случаев.
Можно считать, что случаи представляют собой все множество исходов опыта. Пусть их число равно п ( число возможных исходов), а при т из них происходит некоторое событие А (число благоприятных исходов).
Определение. Вероятностью события А называют отношение числа благоприятных этому событию исходов опыта к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Вероятность события А определяется формулой:
– (*)
– классическое
определение вероятности.
Свойства вероятности
Из выше сказанного определения вытекают следующие свойства вероятности:
Свойство 1.
Вероятность достоверного события равна
единице
.
Свойство 2.
Вероятность
невозможного события равна нулю
.
Свойство 3.
Вероятность
случайного события есть положительное
число, заключенное между нулем и единицей
.
Задача. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, наудачу вынут шар. Найти вероятность того, что он белый.
Решение. Будем считать элементарными событиями, или исходами опыта, извлечение из урны каждого из имеющихся в ней шаров. Очевидно, что эти события удовлетворяют всем условиям, позволяющим считать их схемой случаев. Следовательно, число возможных исходов равно 10, а число исходов, благоприятных событию А (появлению белого шара) – 6 (таково количество белых шаров в урне). Значит,
Лекция 2 §4 Основные формулы комбинаторики
При вычислении вероятностей часто приходится использовать некоторые формулы комбинаторики – науки, изучающей комбинации, которые можно составить по определенным правилам из элементов некоторого конечного множества. При решении задач комбинаторики используют следующие правила:
Правило суммы: если объект А может быть выбран m способами, объект В может быть выбран n способами, то «А или В» может быть осуществлен m + n способами.
Правило произведения: если объект А может быть выбран m способами и после каждого такого выбора объект В может быть выбран n способами, то «А и В» в указанном порядке может быть осуществлен m · n способами.
Задача 1. В магазине имеются три куклы и четыре машины. Сколькими способами можно выбрать подарок, состоящий из одной игрушки?
Решение. Подарок может быть куклой или машиной, куклу можно выбрать тремя способами, а машину – четырьмя, следовательно, число способов равно 3 + 4 = 7.
Задача 2. Сколькими способами можно выбрать подарок из двух игрушек (куклу и машину)?
Решение. Куклу можно выбрать тремя способами, а машину – четырьмя. Следовательно, всего число способов выбрать куклу и машину равно: 3 · 4 = 12.
Рассмотрим следующие виды комбинаций: размещения без повторений и с повторениями, перестановки без повторений и с повторениями, сочетания без повторений и сочетания с повторениями. Комбинаторика позволяет не только определить вид комбинации, но и подсчитать количество таких комбинаций.