§30 Проверка гипотез о среднем значении нормально распределенной св при известной и неизвестной дисперсии

Пусть имеется генеральная совокупность , распределенная по нормальному закону с известной дисперсией (т.е. известно). Генеральная средняя неизвестна, но есть основания предполагать, что она равна гипотетическому (предполагаемому) значению . Например, если – совокупность размеров партии деталей, изготавливаемых станком-автоматом, то можно предполагать, что генеральная средняя этих размеров равна проектному размеру . Для проверки этого предположения (гипотезы) делают выборку, находят и устанавливают, значимо или незначимо различаются и . Если различие окажется незначимым, то станок в среднем обеспечивает проектный размер; если же различие значимое, то станок требует наладки.

Из нормальной генеральной совокупности извлечем выборку объема , по которой найдем . При этом дисперсия известна. Поскольку предполагается, что как СВ взаимно независимы, то они имеют одинаковые нормальные распределения, а следовательно, и одинаковые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, и т.д.).

Необходимо по известному при заданном уровне значимости проверить гипотезу о равенстве генеральной средней гипотетическому значению .

Поскольку является несмещенной оценкой генеральной средней, т.е. , то гипотезу можно записать в виде .

Таким образом, требуется проверить, что математическое ожидание выборочной средней равно гипотетической генеральной средней , т.е. значимо или незначимо различаются выборочная и генеральная средние.

В качестве критерия проверки гипотезы примем СВ . В силу свойства одинаково распределенных взаимно независимых СВ критерий проверки гипотезы принимает вид .

Случайная величина распределена по стандартному нормальному закону (т.е. с ). Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы .

Сформулируем правила проверки гипотезы , обозначив через значение критерия , вычисленное по данным наблюдений.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить гипотезу о равенстве неизвестной генеральной средней нормальной совокупности с известной дисперсией гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе , необходимо вычислить (1) и по таблице значений функции Лапласа найти критическую точку двусторонней критической области из равенства . (2)

Если – нет оснований отвергнуть гипотезу ; если – гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе критическую точку правосторонней критической области находят из равенства . (3)

Если – нет оснований отвергнуть гипотезу ; если – гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе критическую точку находят по правилу 2, а затем полагают границу левосторонней критической области . Если – нет оснований отвергнуть гипотезу ; если – гипотезу отвергают.

Замечание. Из правила 1 следует, что если область принятия гипотезы есть интервал , то область ее отклонения – .

Пример 1. Из нормальной генеральной совокупности с известным извлечена выборка объема и по ней найдено выборочное среднее . При уровне значимости проверить гипотезу при конкурирующей гипотезе .

Решение. По данным задачи найдем . Поскольку конкурирующая гипотеза имеет вид , то критическая область – правосторонняя. По правилу 2 критическую точку находим из равенства (3): . По таблице значений функции Лапласа находим . Так как , то гипотезу отвергаем. Таким образом, различие между выборочной и гипотетической генеральной средней значимое.

Рассмотрим случай, когда дисперсия генеральной совокупности, распределенной по нормальному закону, неизвестна (т.е. неизвестно). Такая ситуация может возникнуть, например, в случае малых выборок. В качестве проверки гипотезы принимают СВ , (4) где – «исправленное» среднее квадратическое отклонение. Случайная величина имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Критическая область, как и в рассмотренном выше случае с известной дисперсией , строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Правило 1. Для того, чтобы при заданном уровне значимости проверить гипотезу о равенстве неизвестной генеральной средней нормальной совокупности с неизвестной дисперсией гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе , необходимо вычислить (5)

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости , помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободы найти критическую точку двусторонней критической области. Если – нет оснований отвергнуть гипотезу ; если – гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе по заданному уровню значимости , помещенному в нижней строке таблицы критических точек распределения Стьюдента, и числу степеней свободы найти критическую точку правосторонней критической области. Если – нет оснований отвергнуть гипотезу ; если – гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе сначала по правилу 2 находят «вспомогательную» критическую точку , а затем полагают границу левосторонней критической области . Если – нет оснований отвергнуть гипотезу ; если – гипотезу отвергают.

Пример 2. По выборке объема , извлеченной из нормальной генеральной совокупности, найдены выборочное среднее значение и «исправленное» среднее квадратическое отклонение . При уровне значимости 0.05 проверить гипотезу при конкурирующей гипотезе .

Решение. Вычислим наблюдаемое значение критерия:

Поскольку конкурирующая гипотеза – двусторонняя, то по таблице критических точек распределения Стьюдента по уровню значимости , помещенному в верхней строке таблицы, и по числу степеней свободы , согласно правилу 1, находим критическую точку . Так как , то нет оснований отвергнуть гипотезу . Следовательно, выборочное среднее незначимо отличается от гипотетической генеральной средней.