Дополнительные числовые характеристики случайной величины:

Определение. Модой М₀ дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение: . Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения вероятности имеет максимум:

Определение. Медианой М_е случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно (равновозможно) получение большего или меньшего значения случайной величины: .

Медиана, как правило, существует только для непрерывных случайных величин.

Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам. Отметим, что если функция плотности распределения имеет ровно один максимум, то мода и медиана совпадают с математическим ожиданием.

Пример. Найти моду и медиану, если случайная величина задана дифференциальной функцией распределения: в интервале , вне этого интервала .

Решение. Запишем дифференциальную функцию в виде . Отсюда видно, что дифференциальная функция достигает максимума при , следовательно . Поскольку кривая распределения представляет параболу, то она симметрична относительно прямой , следовательно, М_е=2.

§24 Выборочное среднее (среднее арифметическое)

Определение. Рассмотрим случайную величину X. Пусть для нахождения значений этой случайной величины производится серия из опытов, затем эта серия несколько раз повторяется. Рассмотрим следующие случайные величины:

– это значение случайной величины в первом опыте при переходе от серии к серии; – это значение случайной величины во втором опыте при переходе от серии к серии; …………

– это значение случайной величины в опыте при переходе от серии к серии. Выборочным средним (средним арифметическим) называется случайная величина .

Будем считать, что случайные величины :

1. попарно независимые;

2. имеют тот же самый закон распределения, что и случайная величина .

То есть , .

Следующие ниже три положения устанавливают связь между числовыми характеристиками среднего арифметического и соответствующими характеристиками каждой отдельной величины.

1. Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию каждой из величин: .

2. Дисперсия среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше дисперсии каждой из величин: .

3. Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше среднего квадратического отклонения каждой из величин: .

Теорема (о выборочном среднем). Пусть случайная величина имеет математическое ожидание и дисперсию , тогда ее выборочное среднее имеет математическое ожидание , а дисперсию .

§25 Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Вариационный ряд и его основные числовые характеристики

Математическая статистика (МС) — раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений с целью выявления статистических закономерностей.