Лекция 6

§15 Равномерный закон распределения вероятностей (равномерное распределение на отрезке)

При решении практических задач зачастую точно найти закон распределения случайной величины довольно сложно. Однако, все происходящие процессы, связанные со случайными величинами, можно разделить на несколько типов, каждому из которых можно поставить в соответствие какой – либо закон распределения. Выше были рассмотрены некоторые типы распределений дискретной случайной величины, такие как биномиальное распределение и распределение Пуассона.

Рассмотрим теперь некоторые типы законов распределения для непрерывной случайной величины.

Определение. Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], если на этом отрезке плотность вероятности случайной величины постоянна, а вне его равна нулю: .

Постоянная величина С может быть определена из условия равенства единице площади, ограниченной кривой распределения.

Получаем . Таким образом, плотность вероятности случайной величины примет вид: .

Теорема (основное свойство равномерного распределения). Пусть случайная величина X равномерно распределена на отрезке [a, b]. Пусть отрезок полностью лежит в отрезке [a, b], тогда справедлива формула:

.

Эта теорема утверждает, что вероятность попадания значений случайной величины в отрезок зависит только от длины этого отрезка и не зависит от его положения на оси OX. Поэтому о такой случайной величине говорят, что она равномерно распределена на отрезке [a, b].

Найдем функцию распределения F(x) в случае равномерного распределения на отрезке [a,b].

Функция распределения может быть легко найдена, если известна плотность вероятности, по формуле: . По условию

.

При , .

При ,

При ,

Окончательно получаем, что функция распределения в случае равномерного распределения на отрезке имеет вид:

Для того чтобы случайная величина подчинялась закону равномерного распределения необходимо, чтобы ее значения лежали внутри некоторого определенного интервала, и внутри этого интервала значения этой случайной величины были бы равновероятны (равновозможны).

Пример 1. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляются до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при округлении будет сделана ошибка, непревышающая по абсолютной величине 0, 02 А.

Решение. Пусть X – ошибка округления. Считаем, что она имеет равномерный закон распределения на отрезке (по умолчанию) . Нас интересует ошибка . Тогда вероятность найдем по формуле: . Получим

Пример 2. Автобусы некоторого маршрута идут с интервалом 5 минут. Найти вероятность того, что пришедшему на остановку пассажиру придется ожидать автобуса не более 2 минут.

Решение. Время ожидания является случайной величиной, равномерно распределенной в интервале [0, 5]. Тогда

§16 Нормальный закон распределения вероятностей (или нормальное распределение на прямой)

Определение. Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения вероятности имеет вид:

, (1)

где числа и называются параметрами нормального распределения. График функции (или плотности нормального распределения) называют нормальной кривой (кривой Гаусса).

Замечание. Таким образом, нормальное распределение определяется двумя параметрами: а и σ. График функции симметричен относительно прямой .

для любого t.

Форма графика зависит от параметра , чем больше , тем шире и ниже график.

Теорема (основное свойство нормального распределения). Пусть случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами а и σ, тогда справедлива формула: , где – функция Лапласа.

Теорема (правило трёх сигм). Пусть случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами а и σ, тогда справедлива формула: .

Другими словами, тот факт, что значение случайной величины, распределённой по нормальному закону попадает в промежуток [ ] является практически достоверным событием.

На практике считается, что если для какой – либо случайной величины выполняется правило трех сигм, то эта случайная величина имеет нормальное распределение.

Функция распределения для нормального закона имеет вид:

Перед нами так называемый «неберущийся» интеграл, который невозможно выразить через элементарные функции. Поэтому для вычисления значений F(x) приходится пользоваться таблицами. Они составлены для случая, когда, а = 0, а σ = 1.

Замечание. Функцию распределения для произвольных параметров можно выразить через функцию Лапласа, если сделать замену: , тогда .

Пример. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами, а = 3, . Найти вероятность того, что она примет значение из интервала (4; 8).

Решение. Применим основное свойство нормального распределения (см. теорему выше), получим: