17

Практические задания

Тема 2: Экономико-математическая модель оптимизации производственно-отраслевой структуры сельскохозяйственного предприятия

Задание. Составить и рассчитать оптимальную производственно-отраслевую структуру сельскохозяйственного предприятия. Оптимальный план должен обеспечить определение:

объемов производства и ее реализации по имеющимся каналам продукции растениеводства и животноводства;

размеров и структуры товарной продукции хозяйства;

размеров и структуры посевных площадей, производственных и трудовых (с учетом его возможного привлечения) затрат в целом по хозяйству в разрезе отраслей и культур;

размеров поголовья скота (в сравнении с результатами решения модели по оптимизации структуры кормопроизводства);

оптимальной структуры кормового баланса – баланс питательных веществ, баланс кормовых единиц по отдельным группам кормов, «зеленый конвейер»;

общих размеров производственных и коммерческих затрат ресурсов на производство и реализацию продукции;

результативных экономических показателей;

оптимального использования кормовых угодий и соблюдении технологических (агротехнических и зоотехнических) условий производства продукции в целом по хозяйству при нефиксированных (незаданных) размерах поголовья скота.

Критерий оптимальности - максимум прибыли.

Составленную экономико-математическую модель решить на компьютере и проанализировать полученные результаты. Провести анализ полученных в результате решения двойственных оценок ограничений.

2.1. Разработка числовой экономико-математической модели

Исходная информация, расчет технико-экономических коэффициентов и констант.

Требуется определить оптимальную потребность в них при известных дозах внесения в расчете на 1 га возделываемых культур. Показатели затрат удобрений и труда в напряженный период в расчете на 1 га с. х. культур приведены в табл. 2.1 (для 4-го уровня урожайности). Для 3-го - дозы снижаются на треть, для 2-го – вдвое, для 1 уровня – в три раза.

Таблица 2.1. Затраты труда в напряженный период и удобрений на 1 га

сельскохозяйственных культур

Культуры	Затраты труда в сентябре, чел.-ч	Затраты удобрений, т
		минеральных			органи-ческих
		азотных	фосфор-ных	калийных
Озимая пшеница	-	0,3	-	-	-
Озимая рожь	-	0,3	-	-	-
Ячмень	-	0,3	0,42	0,36	-
Овес	-	0,36	0,3	0,24	-
Картофель	150	0,6	0,66	0,48	60
Кормовая свекла	200	0,66	0,54	0,3	45
Кукуруза, подсолнечник, на силос	15	0,24	0,3	0,3	30
Кукуруза на зеленый корм	10	0,24	0,3	0,3	30
Многолетние травы	-	0,12	0,18	0,24	-
Однолетние травы	-	0,3	0,36	0,3	-

Доля озимых зерновых культур во всех зерновых может варьировать в пределах от 20 до 40 %.

Данные по выходу товарной продукции растениеводства приведены в табл. 2.2, а основные показатели по животноводству и в расчете на 1 среднегодовую голову – в табл. 2.3.

Коровы в общем поголовье крупного рогатого скота могут изменяться в пределах 10 % от сложившегося размера стада. Напомним, что в хозяйстве 1000 голов коров и 1600 голов молодняка крупного рогатого скота [1]. Поэтому минимальный удельный вес маточного поголовья в общем поголовье крупного рогатого скота составит 34 % [0,9·1000:(1000+1600) = 0,34], а максимальный – 42% [1,1·1000:(1000+1600) = 0,42].

Уровень урожайности, нормы высева и посадки, а также данные по отходам, убыли и потерям кормовых культур взяты те же, что были в задании 1.

Таблица 2.2. Расчет товарной продукции растениеводства на 1 га культур, ц

Показатели	Озимая пшеница	Ячмень	Овёс	Картофель
Урожайность	40	38	34	150,0
Норма высева с учетом страхового семенного фонда	3,45	3,45	2,07	35,0
Отходы, убыль, потери	2,0	1,9	1,7	15,0
Итого реализуется в расчете на 1 га	34,55	32,65	30,23	100,0

Рассмотрим расчет показателей на примере товарного картофеля. Из урожайности (150 ц/га) нужно вычесть норму посадки картофеля на 1 га (35 ц/га) и потери при хранении, которые в данном случае составляют 10 % урожая (15 = 150 * 10 / 100), или 15 ц/га. В итоге реализация картофеля в расчете на 1 га составит:

150 – 35 – 15 = 100 ц. Эта величина и будет в дальнейшем технико-экономическим коэффициентом в ограничении по распределению товарного картофеля по каналам реализации. По остальным товарным культурам в целях упрощения отходы составляют 5 % урожая.

Таблица 2.3. Показатели по животноводству, в расчете на 1 гол.

Показатели	Коровы	Молодняк крупного рогатого скота
Годовая продуктивность, ц	35,0 (молоко)	1,9 (мясо, живая масса)
Годовые затраты труда, чел.-ч	300	96
Затраты труда в сентябре, чел.-ч	25	8
Производственные затраты всего, руб.	26350	13500
В том числе корма, руб.	13350	6500
Производственные затраты без стоимости кормов	13000	7000
Выпойка молока молодняку, ц	-	1,4
Выход навоза, т	8,5	4,3

Цены реализации продукции по каналам даны в табл. 2.4.

Таблица 2.4. Реализационные цены за 1 ц продукции, тыс. руб.

Виды продукции	Договоры	Работникам хозяйства	Рынок
Зерно озимой пшеницы	0,4	0,3	0,5
Зерно ячменя	0,26	0,18	0,4
Картофель	0,5	0,4	0,8
Молоко	0,9	0,7	1,1
Мясо крупного рогатого скота	6,0	4,5	8,2

В индивидуальных вариантах по данной теме необходимо рассчитать размеры пашни и трудовых ресурсов, исходя из результатов решения по модели оптимизации структуры кормопроизводства и намечаемых самим студентом площадей посева сельскохозяйственных культур на товарные цели. Пример расчета приведен в табл. 2.5.

Таблица 2.5. Расчет объема трудовых ресурсов и пашни

Показатели	Намечаемые площади культур, га	Поголовье скота, гол.	Затраты труда на 1 га, 1 гол.	Всего затрат труда, чел.-ч
Посевы кормовых культур*	1612	х	х	66040
Посевы товарной озимой пшеницы	600	х	22	13200
Ячменя	400	х	18	7200
Картофеля	60	х	275	16500
Поголовье коров	х	1000	300	300000
Поголовье молодняка	х	1600	96	153600
И т о г о	х	х	х	556540
В т. ч. в IX	х	х	х	92757
Привлечение труда	х	х	х	46378

* из решения 1-й модели оптимизации структуры кормового баланса

Для производства товарной продукции растениеводства в данном примере запланированы следующие площади (в га): под озимую пшеницу – 600, ячмень – 400 и картофель – 60. По результатам решения 1-й модификации модели оптимизации структуры кормопроизводства площадь посева кормовых и зернофуражных культур составила 1612 га. Таким образом, общая площадь пашни под все товарные и фуражные культуры составит 2672 га (600 + 400 + 60 + 1612 = 2672). Общий годовой размер затрат труда также включает 66040 чел.-ч, затраченных на кормопроизводство, плюс сумма произведений намечаемых площадей товарных культур и заданного поголовья на затраты труда в расчете на 1 га и 1 голову коров и молодняка крупного рогатого скота. Он составит 556540 чел.-ч (66040 + 600·22 + 400·18 + 60·275 + 1000·300 + 1600·96 = 556540). Затраты труда в напряженный период (сентябрь) – двухмесячный запас труда, или 1/6 годового объема – 92757 (556540 : 6 = 92757), а размер труда, привлеченного со стороны – 1/12 годового объема трудовых ресурсов или половина (1/2) труда в сентябре, то есть 46378 (92757 : 2 = 46378) чел.-ч.

Определено, что хозяйство может реализовать не менее 50 % всей производимой товарной продукции по договорным ценам, 5 % – по минимальным ценам работникам своего хозяйства, остальная продукция может быть реализована по рыночным ценам, причем объем реализации на рынок не ограничен. Расчет констант, означающих объемы реализации продукции по каналам приведен в табл. 2.6.

Данные по «чистой» урожайности товарных культур берутся из табл. 2.2. Они рассчитываются как разность между показателями урожайности и нормами высева и отходами в расчете на 1 га (строка 4 табл. 2.2).

Требуется рассчитать оптимальную производственную структуру хозяйства, обеспечивающую при заданных условиях максимум прибыли.

Таблица 2.6. Объемы реализации продукции по договорам и работникам

Вид продукции	Площадь посева (га), поголовье скота (гол.)	«Чистая» урожайность (ц/га), продуктивность (ц/гол.)	Всего продукции, ц	Реализация по договорам, не менее 50 %, ц	Реализация работникам, не менее 5 %, ц
Озимая пшеница	600	34,55	20730	10365	1037
Ячмень	400	32,65	13060	6530	653
Картофель	60	100	6000	3000	300
Молоко	1000	35	35000	17500	1750
Мясо	1600	1,9	3040	1520	152

Система переменных. В соответствии с поставленными условиями задачи к системе переменных модели оптимизации кормопроизводства 2-й модификации добавляются переменные по посевным площадям товарных культур (га): озимой пшеницы, ячменя, и картофеля, по объемам реализации продукции по каналам (ц): зерна озимой пшеницы по договорам, работникам своего хозяйства, на рынок; зерна ячменя по договорам, работникам, на рынок; аналогично, картофеля, молока, мяса крупного рогатого скота.

Добавляются также переменные по определению потребности в минеральных удобрениях - азотных, фосфорных и калийных и нехватке органических удобрений, привлечению трудовых ресурсов в сентябре, общей стоимости реализованной (товарной) продукции.

Система ограничений. Ограничения модели оптимизации плана кормопроизводства полностью переходят в модель оптимизации производственной структуры. В 14-е ограничение «солома ячменя на корм» добавится солома, получаемая с площади посева товарного ячменя, и оно примет вид:

14) – 18х₂ + 1х₁₇ – 18х₃₆  0.

В ограничение по предшественникам озимых также будут дополнительно включены товарные зерновые культуры.:

В ограничение 20 «всего производственных затрат» также добавятся затраты по животноводству и товарным культурам, а переменная х₂₂ будет теперь обозначать сумму затрат в целом по хозяйству.

Отметим, что технико-экономические коэффициенты по животноводству означают производственные затраты без стоимости кормов, потому что производственная себестоимость кормов учитывается в модели в расчете на их площадь. Например, все затраты на 1 корову составляют 26,35 тыс. руб., в том числе корма – 13,35 тыс. руб. Поэтому в модель по строке производственных затрат заносится величина 13,0 (26,35 – 13,35).

В ограничение 21 по балансу трудовых ресурсов будут включены затраты труда по отраслям животноводства (табл. 2.4), они отсутствовали в модели оптимизации кормового баланса, а по товарным культурам – они такие же, какими были в модели кормового баланса. Кроме того, в это ограничение будет добавлена переменная, обозначающая искомый размер привлечения со стороны трудовых ресурсов и изменена константа, показывающая размер трудовых ресурсов в целом по хозяйству, – 544470 чел.-ч (ранее константа была равна нулю):

21) 22х₁ + 18х₂ + ... + 300х₂₀ + 96х₂₁ + 23х₂₅ + 18х₂₆ + 275х₂₇  556540 + + 1х₄₇, или

22х₁ + 18х₂ + ... + 275х₂₇ – 1х₄₇  556540.

Необходимо отметить, что переменная х₂₃ в модели оптимизации структуры кормопроизводства означала общий, суммарный объем затрат трудовых ресурсов на производство кормов. Теперь необходимости в этой переменной нет, и ее целесообразно удалить. Но, чтобы не менять нумерацию переменных, достаточно поставить по ней нулевое значение по строке «верхняя граница». В этом случае переменная х₂₃ не войдет в оптимальное решение.

Ограничения 25 и 26 в модели оптимизации структуры кормопроизводства обозначали заданное поголовье коров и молодняка крупного рогатого скота:

25) 1 х₂₀ = 1000,

26) 1 х₂₁ = 1600.

Эти ограничения в модели оптимизации производственно-отраслевой структуры будут отсутствовать (поскольку поголовье скота в этой модели определяется в результате решения задачи, а не задается). Если не менять нумерацию ограничений, необходимо так «убрать» эти условия, чтобы они не оказывали влияния на результаты решения. Поэтому их следует записать так:

25) 1 х₂₀  0,

26) 1 х₂₁  0.

В следующих двух ограничениях отражен удельный вес коров в общем поголовье крупного рогатого скота (не менее 34 и не более 42 %):

27) х₂₀  0,34 (х₂₀+ х₂₁),

28) х₂₀  0,42 (х₂₀ + х₂₁)

После преобразований и перенесения в левую часть, получим:

0,66х₂₀ – 0,34х₂₁  0 и

0,58х₂₀ – 0,42х₂₁  0.

Математическая запись условий по структуре стада имеет вид:

где D' и D" - множества, включающие номера переменных, между которыми установлены зоотехнические соотношения, w'_ij' и w"_ij" - коэффициенты пропорциональности, означающие удельный вес группы скота в общем поголовье; I₈ - множество, элементами которого являются номера ограничений по структуре стада.

Одним из важных условий, лимитирующим производство, является ограничение по использованию площади пашни:

29) x₂₄ + x₃₆ + x₃₇+ x₃₈  2672,

где константа означает общую площадь пашни в хозяйстве. Напомним, что х₂₄ означает общую площадь пашни под кормовыми и зернофуражными культурами.

В ограничениях 30 и 31 отражен удельный вес озимых зерновых в общей площади всех зерновых. Первое из этих условий показывает, что озимых Зерновых должно быть не меньше 20 % всех зерновых:

30) x₂₅  0,2 (х₁ + х₂ + x₂₅ + x₂₆), или

– 0,2х₁ – 0,2х₂ + 0,8х₂₅ – 0,2x₂₆  0.

Аналогично записывается условие о том, что озимых должно быть не более 40% всех зерновых:

31) х₂₅  0,4 (х₁ + х₂ + х₂₅ + х₂₆), или

– 0,4х₁ – 0,4х₂ + 0,6х₂₅ – 0,4х₂₆  0.

Отметим, что коэффициент пропорциональности по ограничиваемым переменным всегда равен единице минус заданный удельный вес, а знак при коэффициенте в случае условия «не менее» всегда «минус».

Математическая запись условий этой группы имеет следующий вид:

где A' и A" - множества, включающие номера переменных, между которыми установлены агротехнические соотношения, w_j - коэффициенты пропорциональности (взаимосвязи) культур, I₉ - множество, элементами которого являются номера ограничений по агротехническим условиям.

Весьма важным условием в модели оптимизации производственной структуры является ограничение по использованию трудовых ресурсов в напряженный период. Технико-экономические коэффициенты по затратам трудовых ресурсов в сентябре берут из табл. 2.1 (последний столбец) и табл. 2.4 (строка 3):

Вспомогательная переменная х₄₇, обозначающая размер привлечения трудовых ресурсов со стороны, в свою очередь, ограничена:

33) 1х₅₇  46378.

Константы в этих ограничениях рассчитаны соответственно как 1/6 и 1/12 общего размера трудовых ресурсов, равного 556540 чел.-ч.

Математическая запись условий по использованию производственных ресурсов с учетом их возможного пополнения может быть записана следующим образом:

где х_i - искомая переменная, показывающая размер возможного увеличения i-го производственного ресурса;

I₁₀ - множество, включающее номера ограничений по использованию производственных ресурсов с учетом их возможного увеличения.

Следующие четыре ограничения обеспечивают использование минеральных (по видам) и органических удобрений. Технико-экономические коэффициенты по переменным, обозначающим площади сельскохозяйственных культур, представляют собой нормы затрат удобрений на 1 га соответствующих культур (табл. 2.1).

Математическая запись таких условий имеет вид:

где D – множество, включающее в себя номера переменных по животноводству, а A – по растениеводству; I₁₁ – множество, номерами которого являются номера ограничений по использованию удобрений; х_i^’ – вспомогательная переменная, обозначающая количество недостающих органических удобрений; а_ij – технико-экономический коэффициент, отражающий норму внесения навоза в расчете на 1 га j-культуры; v_ij – норма выхода навоза в расчете на единицу j-й отрасли животноводства.

Следующая группа ограничений – по распределению объемов производства сельскохозяйственной продукции по каналам реализации. Эти ограничения записываются по всем реализуемым видам товарной продукции. Технико-экономические коэффициенты при переменных в этих ограничениях показывают выход товарной продукции соответствующего вида в расчете на единицу измерения переменной (табл. 3, стpока 4). Например, ограничение по распределению объемов реализации зерна озимой пшеницы имеет вид:

48) 34,55х₃₆ = 1х₃₉ + 1х₄₀ + 1х₄₁, или

– 34,55х₂₅ + 1х₃₉ + 1х₄₀ + 1х₄₁ = 0,

где технико-экономический коэффициент 34,55 при переменной х₃₆ (площадь товарной озимой пшеницы) рассчитывается как разность между урожайностью и нормой высева, а по другим видам продукции и отходами (40 – 3,45 – 2 = 34,55), а переменные 1х₃₉ + 1х₄₀ + 1х₄₁– искомые объемы реализации соответственно по договорам, работникам своего хозяйства и на рынок.

Аналогична запись ограничений по распределению товарного ячменя и картофеля.