Графическое представление дифференциальной функции распределения

Н а графике (рис.2-1.5) плотность вероятности является ординатой кривой распределения, а вероятность Р(х) равна площади под этой кривой oт -¥ доx. По определению Р(x) обладает следующими свойствами:

1. P(x) ­­–непрерывная возрастающая функция: её

приращение в промежутке равно вероятности для величины X попасть в этот промежуток. В самом деле, по правилу сложения вероятностей:

_,

т.е. _,

и следовательно,

_.

,	(2-1.17)
.	(2-1.18)

2. Производная от интегральной функции распределенная P(x) равна плотности , т.е

.

(2-1.19)

Параметры теоретического распределения. Математическое ожидание.

Среднее арифметическое, являющееся центром эмпирического распределения, переходит в математическое ожидание M(x)при . В теоретическом распределении дискретных величин математическое ожидание

.

(2-1.20)

Математическое ожидание непрерывно распределенной величины

.

(2-1.21)

При многократных экспериментальных определениях некоторой величины в одних и тех же условиях (при отсутствии систематических погрешностей) математическое ожидание можно рассматривать как "истинное" значение этой величины.

Дисперсия

В теоретическом распределении дисперсия есть математическое ожидание квадрата отклонений случайной величины от её математического ожидания

.

(2-1.22)

Если обозначитьM(x)=a, то дисперсия распределения дискретной величины может быть записана как

,

(2-1.23)

в случае непрерывной величины как

.

(2-1.24)

Нормальное распределение и его свойства

Происхождение каждого эмпирического распределения обусловлено какими-то определенными естественными причинами. Совокупность причин, приводящих к тому или иному распределению, может быть в каждом случае иной.

Теоретическое распределение случайной величины, которому чаще всего соответствуют эмпирические распределения случайных величин в природе, является нормальным распределением или распределением Гаусса (закон Гаусса). Плотность вероятности нормального распределения определяется равенством

(2-1.25)

д ля любого значения , где M – математическое ожидание, – дисперсия, Mи – параметры распределения.

Соответствующая этой плотности дифференциальная кривая распределения показана на рис.2-1.6.

Интегральная функция нормального распределения записывается в виде

. (2-1.26)

Г рафик интегральной функции распределения изображен на рис.2-1.7. Полная площадь под всей кривой выразится интегралом

.(2-1.27)

Свойства нормального распределения:

1. Из рис.8 видно, что нормальное распределение симметрично относительно ординаты, соответствующей значениюM. Значение M является центром группирования - математическим ожиданием распределения.

Наибольшая ордината, отвечающая значению x=M, имеет величину

_. (2-1.28)

2. При одном и том же значенииM, но различных получим семейство кривых (рис.2-1. 8).

Из рис.2-1.8 видно, что когда уменьшается, ордината растет. Подъем кривой в центральной части компенсируется более резким спадом её к оси , так что общая площадь остается неизменной и равной 1.

Нормальная кривая имеет две точки перегиба, абсциссами которых являются . Следовательно, чем больше , тем шире кривая.

3. Интеграл от плотности вероятности нормального распределения в пределах от до равен 0,683; в пределах от до - 0,955; от до - 0,997.

4. Коэффициент асимметрии A нормального распределения равен нулю.

5. Эксцесс нормального распределения равен нулю.