Теоретическое распределение

Теоретическое распределение – это математическая модель распределения вероятности по значениям дискретной случайной величины или по интервалам непрерывной случайной величины.

Вероятность

В эмпирическом распределении относительное число попаданий в заданный интервал дается частостью , в теоретическом распределении подобная величина называется вероятностью. Вероятность есть мера объективной возможности данного события. Вероятность связана с частостью появления переменной величины:

.

(2-1.9)

Вероятность выражает вполне определенную, хотя и своеобразную, связь между постоянным комплексом условий и случайным событием в поле испытаний, количественно характеризуя единство необходимого и случайного. Конкретный смысл вероятности заключается в том, что она определяет среднюю частость, с которой можно ожидать появления события в длинных сериях испытаний. Значение вероятности изменяется в пределах от нуля до единицы.

Теоретическое распределение дискретной и непрерывной случайной величины

Дискретное распределение считается теоретически заданным, если известны все возможные значения , принимаемые величиной, и вероятности для каждого события в поле испытаний. Так как эти события должны образовывать полную группу, то полная вероятность

.

(2-1.10)

При дискретном распределении общая масса вероятности, равная единице, сосредоточена в счетной или конечной системе точек х_i . Другими словами, точечное распределение массы вероятности подобно, например, точечному распределению электрических зарядов. К теоретическим распределениям дискретных величин относятся биномиальное, гипергеометрическое, распределение Пуассона. Каждое из этих распределений описывается аналитической функцией, выражающей зависимость вероятности от дискретной переменной величины и параметров распределения.

Функция биноминального распределения:

,

(2-1.11)

где q = 1 – p, n, p - параметры распределения.

Функция распределения Пуассона

,

(2-1.12)

где l – параметр распределения.

Для теоретического изучения распределения непрерывных величин вводится понятие плотности вероятности

,

где Dx длина малого интервала, начинающегося в точке x.

Для бесконечно малого интервала Dx вероятность

_, (2-1.13)

для конечного интервала , где ,

Интеграл от плотности вероятности распределения по любому промежутку оси дает вероятность попадания величины X в этот промежуток Dx.

Плотностью распределения может служить любая интегрируемая функция , удовлетворяющая двум условиям:

1. .	(2-1.14)
2. .	(2-1.15)

Вероятность (2-1.16) называется интегральной функцией распределения, в отличие от плотности вероятности , которую называют дифференциальной функцией распределения.