2.3.3. Передаточные функции замкнутых систем

В разомкнутой импульсной системе (рис. 2.1, а) с зет-функцией передачи (ЗФП) импульсного фильтра W(z) зет-изображение Y(z) выходной величины y(t), зависящее от дискретного сигнала ошибки x[nT], можно представить в виде [1]:

(2.3.7)

где X(z) – z-изображение решетчатой функции сигнала ошибки x[nT] на выходе импульсного элемента ИЭ.

При замыкании цепи единичной обратной связи z-изображение сигнала ошибки X(z) определяется разностью z-изображений задающего сигнала G(z) и выходной величины Y(z)

(2.3.8)

Подставив (2.3.8) в (2.3.7), получим очевидные зависимости:

(2.3.9)

(2.3.10)

где Ф(z) и Ф_ε(z) – зет-функции передачи (ЗФП) замкнутой САУ по задающему воздействию и по ошибке.

Пример 2.3.2. Определим ЗФП по задающему воздействию и по ошибке в замкнутой импульсной САУ (рис. 2.1.1, а), если её ЗФП в разомкнутом состоянии (2.3.6) определена в примере 2.3.1.

ЗФП замкнутой САУ по (2.3.9) с учетом (2.3.6) запишется в виде:

(2.3.11)

ЗФП замкнутой САУ по ошибке из (2.3.10) запишется в виде:

(2.3.12)

2.4. Расчет передаточных функций цифро-аналоговых сау

Цифро-аналоговая САУ (рис. 2.1.1, б) состоит из сумматора, цифрового регулятора и непрерывной (аналоговой) части. Сумматор формирует сигнал ошибки управления по принципу отклонения x(t)=g(t)–y(t). Цифровой регулятор содержит АЦП, преобразующий непрерывный сигнал ошибки x(t) в кодо-импульсный сигнал x[nT], цифровую ЭВМ, преобразующую кодо-импульсный сигнал ошибки управления x[nT] по заданному алгоритму управления в управляющий кодо-импульсный сигнал u[nT] и ЦАП, преобразующий кодо-импульсный управляющий сигнал u[nT] в непрерывный управляющий сигнал u(t) ступенчатой формы. Непрерывная (аналоговая) часть содержит усилитель W_У (р), исполнительное устройство (например, двигатель) W_ИУ (р), объект управления W_ОУ (р) и датчик обратной связи W_ОС (р).

2.4.1.Передаточные функции разомкнутых цас

При расчетах ЗФП разомкнутых цифроаналоговых систем (ЦАС) соответственно структуре (рис. 2.1, б) используется математическая модель процессов в виде Z-изображений величин (рис. 2.4.1).

Рис. 2.4.1. Структура разомкнутой ЦАС.

Рис. 2.4.1. Структура разомкнутой ЦАС.

ЗФП АЦП равна единице (по таблице Z-изображений):

(2.4.1)

ЗФП ЭВМ определяется алгоритмом вычислений заданной функции регулятора, например, функции ПИД-регулятора с ОФП:

(2.4.2)

где

При этом ЭВМ должна выполнять следующие операции [1]:

(2.4.3)

Операции масштабирования входного сигнала в ЭВМ учитываются простым его умножением на постоянный множитель

Численное интегрирование в ЭВМ можно осуществить многими методами, из которых простейшим является метод Эйлера (правило прямоугольников) [1]. Интеграл от x(t) аппроксимируется площадью прямоугольников (рис. 2.4.2, а). При t=[n+1]T значение интеграла равно его значению u_И[nT] при t=nT плюс площадь прямоугольника T·x[(n+1)T]:

u_И[(n+1)T]=u_И[nT]+T·x[(n+1)T]. (2.4.4)

x(t)

x[nT]

x(t)

x[(n+1)T]

x[(n+1)T

x[(n+2)T]

x[nT]

x(t)

x(t)

nT (n+1)T (n+2)T t, nT

nT (n+1)T t, nT

б)

а)

Рис. 2.4.2. Численное интегрирование и дифференцирование

Применив к уравнению (2.4.4) z-преобразование, получим:

z[U_И(z)–u_И(0)]=U_И(z)+Tz[X(z)–x(0)]. ( 2.4.5)

Полагая начальные условия нулевыми, получим из (2.4.5) [3]:

(2.4.6)

Численное дифференцирование можно выполнить по методу, в котором значение производной от x(t) в момент t=(n+1)T определяется наклоном прямой линии, проведенной через точки x[nT] и x[(n+1)T] (рис. 2.3, б). При этом процедура дифференцирования описывается разностным уравнением [1]:

(2.4.7)

Применив к (2.4.7) z-преобразование, получим:

(2.4.8)

откуда видно, что ЗФП при численном дифференцировании обратна ЗФП интегратора, реализующего алгоритм Эйлера. Другим методам численного интегрирования и дифференцирования соответствуют другие передаточные функции [1].

В итоге ЭВМ как цифровой ПИД-регулятор преобразует входной сигнал ошибки X(z) в управляющее воздействие U(z) по алгоритму[1]:

(2.4.9)

Полученные соотношения позволяют определять ЗФП для всех других типовых регуляторов по их ОФП.

ЗФП ЦАП совместно с непрерывной частью, включающей датчик обратной связи (рис. 2.4.1), представляется в виде:

(2.4.10)

где , а операция интегрирования 1/p отнесена к непрерывной части САУ.

В результате ЗФП модели разомкнутой цифроаналоговой САУ с ЭВМ в роли цифрового ПИД-регулятора (рис. 2.4.1) представляется в виде:

(2.4.11)

где – ЗФП ЭВМ из (2.4.9) или другого выражения.