2.2. Вычисление z–преобразований от заданных функций

Вычисление Z–преобразований от типовых функций времени, имеющих табличные Z–изображения, выполняются непосредственно по их табличным Z–изображениям. Если заданная функция времени представлена суммой табличных типовых функций:

(2.2.1)

то Z-изображение суммы табличных функций времени представляется простой суммой Z-изображений каждой из функций в виде:

(2.2.2)

где Т – период дискретизации (период квантования) сигнала.

Вычисление Z–преобразования от дробной функции F(p) или W(p) с разложением её методом неопределенных коэффициентов на простые дроби, имеющие табличные Z–изображения:

(2.2.3)

2.3. Расчет передаточных функций импульсных систем

2.3.1. Математическая модель импульсного элемента

Основным звеном типовой импульсной САУ (рис. 2.1.1,а) является импульсный элемент (ИЭ), который преобразует непрерывный сигнал ошибки x(t) в решетчатую функцию – последовательность мгновенных импульсов x[nТ] с периодом квантования T=const и величиной дискрет x[n]=x(t)_t=nT. При этом полагают, что идеальный ИЭ формирует импульсы в виде дельта-функций Дирака из которых формирователь импульсов (экстраполятор) W_Э(р) формирует решетчатую функцию из реальных импульсов напряжения прямоугольной, треугольной или иной формы. Для этого экстраполятор должен иметь импульсную переходную характеристику, совпадающую с требуемой формой выходных импульсов реального ИЭ [1]. Для формирования прямоугольных импульсов в реальной САУ с амплитудно-импульсной модуляцией на выходе ИЭ должен использоваться экстраполятор с импульсной переходной характеристикой, образованной двумя ступенчатыми функциями времени К_Э(t)=1[t]–1[t–τ_И], где τ_И < Т (Т - период квантования импульсов). В этом случае, с использованием обыкновенного преобразования Лапласа и теоремы о смещении функции во времени, ОФП формирователя прямоугольных импульсов (рис. 2.1.1) представляется в виде [1]:

(2.3.1)

2.3.2. Передаточные функции разомкнутых систем

Разомкнутая импульсная система с амплитудно-импульсной модуляцией (АИМ) при длительности импульсов τ_И < Т состоит из ИЭ, формирователя прямоугольных импульсов (экстраполятора нулевого порядка) W_Э(р) и непрерывной части W_Н(р), включающей датчик обратной связи (рис. 2.1.1, а). ИЭ формирует из непрерывного сигнала ошибки его решетчатую функцию в форме дельта-функций, а эктраполятор и непрерывная часть импульсной системы образуют импульсный фильтр , не пропускающий пульсации импульсного сигнала на выход y(t). ОФП импульсного фильтра и всей разомкнутой системы с АИМ и экстраполятором нулевого порядка описывается выражением [1]:

(2.3.2)

При этом зет-функция передачи (ЗФП) импульсного фильтра и всей разомкнутой САУ определяется выражением [1]:

(2.3.3)

В САУ с АИМ, где ИЭ формирует прямоугольные импульсы с τ_И = γТ при γ < 1, способные непосредственно воздействовать на непрерывную часть W_H(p), экстраполятор не нужен. При этом изображение единичных импульсов по Лапласу представляется выражением:

(2.3.4)

а зет-функция передачи разомкнутой САУ (рис. 2.1.1, а) будет [1, 2]:

(2.3.5)

где Z_ε – Z-изображение смещенной функции, ε=1–γ – смещение.

Пример 2.3.1. Определить ЗФП W(z) разомкнутой импульсной САУ, имеющей ИЭ с периодом квантования Т=0,1 с, экстраполятор нулевого порядка (с фиксацией на период квантования Т) и непрерывную часть с ОФП W_H(p)=K/p(1+pT_H) при K=100 c^–1 и T_H=0,5c.

По (2.3.3) W(z)=(1–z^–1)Z{W_H(p)/p}=(1–z^–1)Z{K/p²(1+pT_H)}.

Для определения Z-изображения дроби в фигурных скобках, разложим эту дробь методом неопределенных коэффициентов на сумму простых дробей, имеющих табличные Z-изображения [1]:

(2.3.6)

где α= 1/T_H = 1/0,5=2 c^–1, d=e^–αT=1/e^αT = 1/e^2·0,1=1/1,22=0,82.