9.8.1 Согласованный фильтр как коррелятор

Пусть u_вх(t) – некоторый входной сигнал, в общем случае не совпадающий с сигналом s_вх(t), по отношению к которому рассматриваемый линейный фильтр является согласованным. Отклик фильтра на данное входное воздействие (интегрирование при этом проводится в пределах ]-∞; ∞[:

u_вых = ∫ u_вх(τ) h_согл(t - τ) dτ = k ∫ u_вх(τ) s_вх[t₀ - (t - τ)] dτ = k ∫ u_вх(τ) s_вх[τ - (t - t₀)] dτ. (24)

Интеграл представляет собой взаимокорреляционную функцию сигналов u_вх(t) и s_вх(t):

u_вых (t) = k B_us(t – t₀). (25)

В момент времени t₀ мгновенное значение выходного сигнала с точностью до коэффициента пропорциональности оказывается равным скалярному произведению обоих сигналов:

u_вых(t₀) = k ∫ u_вх(τ) s_вх(τ)dτ. (26)

Предположим, что на входе фильтра u_вх(t) = s_вх(t), т.е. присутствует сигнал, по отношению к которому этот фильтр согласован. Из формулы (25) следует, что в этом случае

s_вых (t) = k B_s(t – t₀), (27)

т.е. выходной сигнал пропорционален автокорреляционной функции входного сигнала, сдвинутой во времени на отрезок t₀. На рис. 9.7 изображено построение сигнала на выходе конкретного согласованного фильтра.

Рис. 9.7 – Построение сигнала на выходе фильтра, согласованного с прямоугольным видеоимпульсом: а – сигнал на входе; б – его автокорреляционная функция; в – сигнал на выходе для случая, когда максимум выходного колебания достигается в момент окончания импульса на входе.

9.9 Частотный коэффициент передачи согласованного фильтра

Поскольку импульсная характеристика и частотный коэффициент передачи линейной стационарной системы связаны между собой преобразованием Фурье, на основании формулы (23):

K_согл(jω) = k∫s_вх(t₀-t)e^{- jωt} dt. (28)

Введя новую переменную интегрирования τ = t₀-t, получаем:

K_согл(jω) = - k exp(-jωt₀) ∫ s_вх(τ) exp(jωτ) dτ = - k exp(- jωt₀) ∫ s_вх(τ) exp(jωτ) dτ =

= - k S_вх^*(ω) exp(- jωt₀). (29)

Таким образом, записывая обе части (21) в показательной (экспоненциальной) форме, получим: (30)

*Знак «минус» в аргументе спектральной плотности входного сигнала в (30) обусловлен ее комплексно-сопряженным значением.

Непосредственно из (30) можно получить соотношения, связывающие основные частотные характеристики – АЧХ и ФЧХ – для полезного входного сигнала и линейного частотного согласованного фильтра:

АЧХ (условие баланса амплитуд): ;

ФЧХ (условие баланса (компенсации) начальных фаз):

Коэффициент к при этом должен иметь размерность, обратную спектральной плотности входного сигнала, в тех случаях, когда частотный коэффициент передачи фильтра (его передаточная функция) является безразмерной величиной.

Итак, частотный коэффициент передачи согласованного фильтра выражается через спектральную плотность полезного сигнала, для выражения которого этот фильтр предназначен. Множитель пропорциональности k в формуле (30) определяет уровень усиления, вносимого фильтром. Значение момента времени t₀ входит лишь в выражение фазовой характеристики фильтра. При этом сомножитель exp(-јωt₀) описывает смещение выходного отклика фильтра по оси времени на величину t₀.