9.5 Выделение полезного сигнала с помощью линейного частотного фильтра

Одной из основных проблем теории согласованной фильтрации является задача синтеза фильтра, оптимального в определенном смысле для приема заданного сигнала, действующего на фоне помехи с заданными статистическими характеристиками.

В зависимости от решаемой задачи – обнаружение сигнала, измерение его параметров или разрешение (различение) сигналов – критерии оптимальности могут быть разными. Для задачи обнаружения сигналов в шумах наибольшее распространение получил критерий максимума отношения сигнал-помеха на выходе фильтра.

Требования к фильтру, максимизирующему отношение сигнал-помеха, можно сформулировать следующим образом. На вход линейного четырехполюсника с постоянными параметрами и передаточной функцией подается аддитивная смесь сигнала s(t) и шума n(t). Сигнал полностью известен (заданы его форма и положение на оси времени). Шум представляет собой случайный процесс с заданными статистическими характеристиками. Требуется синтезировать фильтр, обеспечивающий получение на выходе наибольшего возможного отношения пикового значения сигнала к среднеквадратическому значению шума. При этом не ставится условие сохранения формы сигнала, так как для обнаружения его в шумах форма значения не имеет.

Чтобы выделить полезный сигнал, искаженный наличием шума, можно прибегнуть к частотной фильтрации. Пусть частотный коэффициент передачи Κ(jω) линейного стационарного фильтра выбран так, что значения величины АЧХ - | Κ(jω) | - велики в области частот, где сконцентрирована основная доля энергии сигнала, и малы там, где велика спектральная плотность мощности шума. Подав на вход такого фильтра сумму сигнала и шума, на выходе можно получить заметное увеличение относительной доли полезного сигнала.

9.6 Отношение сигнал/шум

Пусть на входе линейного фильтра присутствует входной сигнал

u_вх (t) = s_вх (t) + n_вх (t), (9)

являющийся суммой полезного сигнала и шума (оба эти сигнала являются узкополосными с одинаковыми центральными частотами ω₀).

Для описания относительного уровня сигнала принято вводить отношение сигнал/шум на входе фильтра в квадратичной форме

Q_вх = <s_вх²>/σ_nвх², (10)

где <s_вх²> - средний квадрат (средняя мощность) полезного сигнала;

σ²_вх - дисперсия входного шума (энергетический спектр W₀;

или в виде отношения среднего значения полезного сигнала к среднеквадратичному отклонению шума: (11)

Безразмерное число Q_вх характеризует уровень сигнала по отношению к уровню шума весьма приближенно.

Поскольку линейный фильтр подчиняется принципу суперпозиции, то сигнал и шум обрабатываются таким фильтром независимо и создают на выходе сигнал

u_вых (t) = s_вых (t) + n_вых (t) со средним квадратом

<u_вых²> = < s_вых² > + σ_nвых², (12)

Это дает возможность ввести отношение сигнал/шум на выходе фильтра в квадратичной форме:

Q_вых = <s_вых²>/σ_nвых², (13)

или в виде отношения средних значений в любой момент времени t₀:

(14)

Будем называть выигрышем фильтра по отношению сигнал/шум величину:

M_ф = Q_{вых /} Q_вх. (15)

Ясно, что если М_ф > 1, то фильтрация суммы сигнала и шума приводит к благоприятному результату – повышение относительного уровня полезного сигнала на выходе.

Достаточное для нормального функционирования системы отношение сигнал/шум, зависит от назначения системы и всей совокупности предъявляемых технических требований.