9.3 Операционный усилитель

Для реализации колебательных звеньев 2-го порядка необходимо наличие индуктивных элементов с достаточно большими номиналами, создание которых весьма затруднительно в техническом плане и практически невозможно в микроэлектронном исполнении. Для решения этой проблемы были разработаны т.н. активные RC-фильтры, представляющие собой комбинацию пассивной RC-цепи и активного элемента – как правило, сложной транзисторной схемы, которая передает в пассивную цепь некоторую мощность, отбираемую от источника питания. Одним из характерных примеров такой схемы является операционный усилитель (рис. 9.2) – усилительное устройство с большим коэффициентом усиления К₀ в широкой полосе частот, начиная с нулевой. Это одна из наиболее широко применяемых интегральных микросхем. Входное сопротивление ОУ весьма велико (до сотен кОм) R_vx → ∞, а выходное сопротивление достаточно мало (десятки Ом) R_vyx → 0; тогда i_vx → 0. Поэтому приближенно операционный усилитель (ОУ) можно рассматривать как источник напряжения, управляемый напряжением. Такая модель активно управляемого элемента часто используется в теории цепей. Коэффициент усиления ОУ составляет около 10⁴-10⁵. Как правило, микросхемы ОУ имеют два входа: инвертирующий (-) и неинвертирующий (+). Если и_вх1 и и_вх2 – напряжения на неинвертирующем и инвертирующем входе соответственно, то выходное напряжение:

и_вых = К_о (и_вх1 - и_вх2). (7)

Рис. 9.2 – Операционный усилитель

Устойчивость систем с ОУ. Если в системе, содержащей ОУ, есть обратная связь, то возможно появление неустойчивых режимов. Рассмотрим систему, в которой выход ОУ соединен с неинвертирующим входом через резистор R. Пусть С_п – паразитная емкость входа усилителя. Поскольку входное сопротивление усилителя бесконечно велико, изображение входного напряжения U₁(p) связано с изображением выходного напряжения U₂(p) простым соотношением (сигнал на инвертирующем входе при этом равен нулю и токи i₁ = i₂):

Поскольку U₂ = U₁K₀, то одновременное выполнение этих двух равенств возможно лишь тогда, когда р служит корнем характеристического уравнения

1 + pRC_п =K₀,

откуда p = (K₀ – 1)/(RC_n). Таким образом, при К₀ > 1 система неустойчива; напряжения в схеме будут нарастать во времени по закону exp((K₀ – 1)t/(RC_n)).

И, следовательно, для того, чтобы система была устойчивой, необходимо выход ОУ через резистор соединить с инвертирующим входом (рис. 9.3).

Рис. 9.3 – Устойчивая система с ОУ

9.4 Принцип построения активных rc-цепей

П ринцип создания активного фильтра на базе ОУ заключается в следующем (рис. 9.4).

Рис. 9.4 – Построение активного фильтра на основе ОУ

Пассивная часть устройства представлена в виде шестиполюсника из элементов R и С. Зажим 1 служит входом, между зажимами 2 и 3 через инвертирующий вход включен ОУ. Для того, чтобы найти передаточную функцию данной системы, опишем пассивный 6-полюсник с помощью его Y-матрицы:

I₁ = Y₁₁U₁ + Y₁₂U₂ + Y₁₃U₃ ,

I₂ = Y₂₁U₁ + Y₂₂U₂ + Y₂₃U₃ ,

I₃ = Y₃₁U₁ + Y₃₂U₂ + Y₃₃U₃ .

Если К₀ – коэффициент усиления ОУ, то U₃ = - K₀ U₂. Входная цепь ОУ не потребляет тока (R_vx → ∞, I₂ = 0), и поэтому на основании второго уравнения:

откуда передаточная функция системы

Считая, что К₀ >> 1, находим окончательно

K(p) = - Y₂₁ /Y₂₃ . (8)

Таким образом, передаточная функция активного RC-фильтра зависит исключительно от свойств пассивной цепи; коэффициент усиления ОУ и другие его параметры на окончательный результат не влияют. Поэтому создание систем с различными частотными характеристиками сводится к синтезу пассивных RC-цепей (в данном случае 6-полюсников) по заданным частотным характеристикам.

В качестве примера конкретной реализации таких систем можно рассмотреть схему фильтра нижних частот, передаточная функция которого определяется по формуле:

Задача синтеза сводится таким образом к подбору проводимостей элементов, которые обеспечивают требуемый вид частотной характеристики. По исходному условию все проводимости Y₁-Y₅ являются либо резисторами, либо конденсаторами с проводимостями Ср. Принципиально важно то, что передаточная функция активного фильтра выражается согласно (8) как отношение двух взаимных проводимостей Y₂₁ и Y₂₃. Полюсы К(р) при этом совпадают с нулями функции Y₂₃(p).

Сопоставляя данную передаточную функцию с классическим видом передаточной функции колебательного звена 2-го порядка, можно определить, что элементы Y₁, Y₃, Y₄ должны быть резисторами, а Y₂ и Y₅ – конденсаторами:

Полюсы передаточной функции при этом будут располагаться в точках:

И поскольку вещественные части координат полюсов отрицательны при любом выборе параметров, то данная цепь будет абсолютно устойчива (рис. 9.5).

Рис. 9.5 – Схема ФНЧ на основе ОУ