14

9. Основы теории согласованной фильтрации

1. Передаточная функция линейной системы с обратной связью.

2. Устойчивость цепей с обратной связью.

3. Операционный усилитель.

4. Принципы построения активных RC-фильтров.

5. Выделение полезного сигнала с помощью линейного частотного фильтра.

6. Отношение сигнал/шум.

7. Критерий оптимальности линейного частотного фильтра.

8. Согласованный линейный фильтр.

9. Частотный коэффициент передачи согласованного фильтра.

9.1 Передаточная функция линейной системы с обратной связью

Цепи, в которых выходной сигнал или некоторая его часть снова поступает на вход, называются цепями с обратной связью. Введение обратной связи позволяет в ряде случаев существенно улучшить рабочие характеристики цепей.

Рассмотрим линейную систему, состоящую из двух четырехполюсников. Активный 4-полюсник, имеющий передаточную функцию К(р), называется основным элементом системы. Другой, как правило, пассивный 4-полюсник с передаточной функцией ß(р), называется элементом обратной связи. Стрелки указывают направления движения сигналов в системе (рис. 9.1).

Рис. 9.1 – Линейная система с обратной связью

На входе основного элемента имеется звено, суммирующее входной сигнал и выходную реакцию элемента обратной связи. Тогда соотношение между изображениями входного и выходного сигналов будет следующим:

(1)

Далее преобразовывая:

Отсюда можно получить формулу, определяющую передаточную функцию системы с обратной связью:

(2)

В соответствии с этой формулой, частотные свойства системы в равной мере зависят как от функции К(р), так и от характеристики ß(р) цепи обратной связи. Поэтому можно достаточного широко варьировать частотную характеристику всего устройства, оставляя неизменным основной элемент системы и изменяя лишь параметры элемента обратной связи.

Отрицательная и положительная обратная связь.

Рассмотрим формулу (2) при p = iw. Тогда частотный коэффициент передачи системы с обратной связью запишется следующим образом:

(3)

Если на заданной частоте w

то введение обратной связи приведет к уменьшению модуля ЧКП системы и, следовательно, амплитуды выходного сигнала. Такая обратная связь называется отрицательной (ООС). Если имеет место обратное неравенство

то в системе наблюдается положительная обратная связь (ПОС).

Как отрицательная, так и положительная обратные связи широко используются при создании р.т. устройств. Однако следует иметь в виду, что ПОС может явиться причиной неустойчивости системы.

Так, например, если ß(р) является положительной вещественной монотонно возрастающей функцией, то это будет приводить к увеличению коэффициента усиления системы с обратной связью (ЧКП) К_ос до тех пор, пока не выполнится равенство:

или ß = 1/К(р), из которого следует, что К_ос → ∞ и что, следовательно, означает самовозбуждение системы – появление выходного сигнала при отсутствии сигнала на входе.

9.2 Устойчивость цепей с обратной связью

Рассмотрим систему с обратной связью, образованную активным элементом с передаточной функцией К(р) и звеном обратной связи с передаточной функцией ß(р), и предположим, что эта система автономна, т.е. внешний входной сигнал не подается, т.е. U_вх(р)=0.

Уравнение состояния записывается на основании того, что

U_вых (p) = K(p)ß(p)U_вых(p),

откуда

(1 - K(p)ß(p)) U_вых(p) = 0. (4)

Поскольку изображение выходного сигнала тождественно не может быть равно нулю ( в противном случае система не была бы возбуждена), то равенство (4) будет справедливо лишь при тех значениях р, которые являются корнями характеристического уравнения

1 - K(p)ß(p)= 0. (4*)

Для того, чтобы цепь с ОС была абсолютная устойчива, необходимо, чтобы корни этого уравнения имели отрицательные вещественные части, т.е. располагались в левой полуплоскости комплексной частоты.

Если синтезируемая цепь должна быть устойчивой, то необходимо определить критерии, которые по виду передаточных функций K(p) и ß(p) позволили бы судить об отсутствии корней уравнения (4) в правой полуплоскости. И наоборот, для создания неустойчивой автоколебательной системы следует знать корни (4), определяющие частоту самовозбуждения. Для нас важен первый случай, поэтому рассмотрим критерии устойчивости цепей с ОС.

Алгебраические критерии устойчивости.

Предположим, что и основной элемент, и элемент ОС являются цепями с сосредоточенными параметрами и их можно записать как отношение двух полиномов по степени частоты р:

K(p) = P₁(p)/Q₁(p); ß(p) = P₂(p)/Q₂(p) (5)

Подставляя (5) в (4*), получим:

(6)

Отсюда следует, что система с ОС будет устойчива, если все корни уравнения

(6*)

имеют отрицательные вещественные части. Полиномы Н(р) с такими свойствами называют полиномами Гурвица.

В качестве частного случая полинома Гурвица можно рассматривать передаточную функцию фильтров Баттерворта или Чебышева, имеющие один вещественный и пары комплексно-сопряженных корней, удовлетворяющих такому же условию.

Полное решение данной задачи (необходимое и достаточное условие) называется критерием Рауса-Гурвица и формулируется следующим образом:

Для того, чтобы уравнение

a_npⁿ + a_n-1p^n-1 + … + a₁p¹ + a₀ = 0

с вещественными коэффициентами имело корни лишь в левой полуплоскости переменной р, необходимо и достаточно, чтобы положительными были следующие величины:

- коэффициенты a_n , a₀;

- определитель Рауса-Гурвица и все его главные миноры (считаются по первой строке с вычеркиванием соответствующих строк и столбцов):

Достоинство критерия Рауса-Гурвица – относительная простота вычислений, Недостаток заключается в применимости его только для цепей с сосредоточенными параметрами, потому что только для них передаточная функция выражается через полиномы.

Геометрические (частотные) критерии устойчивости.

Возвращаясь к характеристическому уравнению 1 - K(p)ß(p) = 0, нетрудно догадаться, что произведение w (p) = K(p)ß(p) есть не что иное, как передаточная функция каскадного соединения двух звеньев – основного и звена ОС. Она называется передаточной функцией системы с разомкнутой ОС и ее можно рассматривать как отображение комплексной плоскости р на другую комплексную плоскость w. При этом корням р₁, р₂, …,р_n характеристического уравнения 1 - K(p)ß(p)= 0 в плоскости w будет соответствовать единственная точка w = 1.

Отсюда непосредственно вытекает принцип, позволяющий судить о возможности самовозбуждения системы с ОС: если образ правой полуплоскости переменной р при отображении на плоскость w содержит точку w = !, то система с замкнутой ОС неустойчива.