8.4 Фильтр Чебышева

Коэффициент передачи мощности ФНЧ при чебышевской аппроксимации задается формулой:

К_р(w_н) = 1/ (1 + ² T_n²(w_н), (8.10)

где  < 1 – постоянное число, называемое коэффициентом неравномерности характеристики в полосе пропускания, Т_n(w_н) – многочлен Чебышева n-го порядка, определяемый формулой T_n(x) = cos (n arccos x). Функция T_n(x) при любом n может быть найдена из рекуррентного соотношения:

T_n(x) = 2x T_n-1(x) - T_n-2(x), (8.11)

где Т₀(х) = 1 и Т₁(х) = х.

Эти многочлены часто используются в задачах аппроксимации благодаря следующему свойству: среди всех многочленов n-ой степени с одинаковыми коэффициентами при старшей степени аргумента эти многочлены менее всего уклоняются от нуля на интервале -1 < x < 1. В то же время при /x/ >> 1 многочлены Чебышева резко увеличивают свои значения. Асимптотически T_n(x)  2^n-1 xⁿ , /x/ >> 1.

С помощью таких функций можно удачно аппроксимировать идеальную характеристику ФНЧ: из (8.10) видно, что в пределах полосы пропускания фильтра величина К(р) колеблется от 1 до 1/(1 + ²); при w_н >> 1 фильтр обеспечивает большое ослабление сигнала.

Рис. 8.10 – ЧКПМ фильтра Чебышева.

Из графиков частотных характеристик передачи мощности для двух чебышевских фильтров при n = 2 и n = 3 видно, что в полосе пропускания эти функции немонотонны. Величина пульсаций ослабления тем выше, чем больше . Из (8.10) следует, что увеличение  ведет к большему ослаблению сигналов вне полосы пропускания. Подбором двух параметров n и  можно добиться выполнения исходных условий, предъявляемых к синтезируемому фильтру.

Передаточная функция чебышевского ФНЧ. Из (8.10) видно, что полюсы коэффициента передачи мощности чебышевского фильтра являются корнями уравнения

1 + ² T_n²(р_н) = 0. (8.12)

Метод решения данного уравнения довольно громоздок, поэтому ограничимся его результатами. Сначала необходимо вычислить вспомогательный параметр:

(8.13)

Затем должны быть найдены полюса фильтра Баттерворта того же порядка. Переход к полюсам чебышевского фильтра осуществляется за счет того, что абсцисса каждого полюса фильтра Баттерворта умножается на sh a, а ордината - на ch a. Если полюса фильтра Баттерворта располагаются на единичной окружности, то полюса чебышевского фильтра лежат на эллипсе, уравнение которого в плоскости р_н = _н + jw_н имеет вид:

Получив координаты полюсов, можно записать выражение передаточной функции чебышевского фильтра в виде:

(8.14)

5. Структурный синтез фильтров

Окончательный этап синтеза фильтров состоит в нахождении принципиальной схемы устройства. Рассмотрим структурный синтез - когда цепь образуется каскадным включением некоторого числа звеньев, отделенных друг от друга идеальными развязывающими элементами. В качестве элементов развязки обычно используются эмиттерные повторители (рис. 8.11).

Рис. 8.11 – Каскадное соединение звеньев

Частотный коэффициент передачи такого устройства:

K(iw) = K₁(iw) K₂(iw) ... K_N(iw).

Коэффициенты передачи каскадных звеньев должны реализовывать те полюса функции К(р), которые были определены на этапе аппроксимации.

Для создания ФНЧ требуются звенья двух видов - звено 1-го порядка, имеющее единственный вещественный полюс, и звено 2-го порядка, обладающее парой комплексно-сопряженных полюсов.

Звено 1-го порядка. Простейшей цепью данного вида является Г-образный RC-четырехполюсник, для которого К(р) = 1/ (1 + pRC) (интегрирующая цепь, рис.8.12) и координата полюса p₁ = -1/(RC). Стоит отметить, что задавая р, мы получаем лишь произведение RC. Один из элементов может быть выбран произвольно. Например, желательно, чтобы емкость С значительно превосходила входную емкость последующего каскада. При этом снижается чувствительность частотной характеристики фильтра к неточному выбору номиналов элементов, образующих схему.

Рис. 8.12 – Звено 1-го порядка

Звено 2-го порядка. Два комплексно-сопряженных полюса частотного коэффициента передачи можно реализовать с помощью Г-образного четырехполюсника, схема и полюса которого приведены на рисунке 8.13.

Рис.8.13 – Звено второго порядка

Легко вычислить, что для этого звена:

Здесь w₀ – частота собственных колебаний контура; α – коэффициент их затухания.

Передаточная функция имеет два полюса которые в зависимости от соотношения между w₀ и  могут быть как комплексно-сопряженными, так и вещественными.