7.5 Передаточная функция четырехполюсника и ее свойства

В дальнейшем в качестве аргумента частотного коэффициента передачи будет использоваться не только переменная iw, но и комплексная частота р, т.е. наряду с функцией K(iw) рассматривается более общая характеристика – передаточная функция К(р). Передаточная функция линейного 4-полюсника является его основной частотной характеристикой и определяется в стационарном режиме как отношение комплексной амплитуды сигнала на выходе к комплексной амплитуде сигнала на входе при гармоническом воздействии. В зависимости от характера входных и выходных сигналов передаточная функция может иметь размерность проводимости: K_Y = I₂ / U₁;

сопротивления: K_Z = U₂ / I₁; либо быть безразмерной величиной: K(p) = U₂ / U₁;

K(p) = I₂ / I₁ (комплексный коэффициент передачи по напряжению или току). При этом для активных 4-полюсников они будут называться соответственно коэффициентами усиления. Необходимо отметить, что значение передаточной функции K(р) зависит от направления передачи энергии в системе. Если источник и нагрузка меняются местами, то следует ввести коэффициент передачи в обратном направлении:

К_обр(р) = U₁/U₂.

Коэффициенты прямой и обратной передачи в общем случае не совпадают.

Передаточная функция четырехполюсника обладает всеми свойствами аналогичных функций линейных стационарных систем. Так, линейному четырехполюснику с постоянными параметрами отвечает функция

(7.12)

где К₀ - постоянная величина. Рассмотрим свойства передаточной функции (условия устойчивости и физической реализуемости 4-полюсников):

1. Она является дробно-рациональной функцией с вещественными коэффициентами, что обусловлено постоянными параметрами элементов схемы 4-полюсника.

2. Чтобы синтезируемая цепь была устойчива, полюсы р₁, р₂, ..., р_n должны располагаться в левой полуплоскости, образуя комплексно-сопряженные пары.

3. Число полюсов функции К(р) должно превышать число нулей, т.е. в бесконечно удаленной точке должен существовать не нуль, а полюс передаточной функции. В противном случае в пределе (при стремлении частоты к бесконечности) АЧХ принимала бы бесконечно большое значение, т.е. 4-полюсник обладал бы бесконечно большим усилением.

4. В отличие от входного сопротивления двухполюсника разность числа нулей и полюсов передаточной функции может быть сколь угодно большой. Это связано с тем, что на фазовый угол коэффициента передачи не могут быть наложены какие-либо энергетические ограничения.

5. Расположение нулей передаточной функции. В отличие от полюсов нули функции К(р) устойчивого линейного четырехполюсника могут располагаться как в левой, так и в правой полуплоскости переменной р. Действительно, характеристическое уравнение К(р) = 0 означает, что при некотором входном U₁(p)  0 изображение выходного напряжения U₂(p) обращается в нуль. Это не противоречит предположению об устойчивости системы.

Четырехполюсники, не имеющие нулей передаточной функции в правой полуплоскости, называют минимально-фазовыми цепями. Если же нули в правой полуплоскости имеются, то такие четырехполюсники называют неминимально-фазовыми цепями. При одинаковом числе нулей и полюсов неминимально-фазовая цепь обеспечивает большее по абсолютной величине изменение фазы коэффициента передачи по сравнению с минимально-фазовой цепью.

Расположение нулей функции К(р) связано с топологической структурой цепи. В теории цепей показывается, что минимально-фазовым будет любой четырехполюсник со следующим свойством: передача сигнала со входа на выход может быть полностью прекращена путем разрыва единственной ветви. В частности, минимально-фазовыми оказываются любые четырехполюсники лестничной структуры.

Неминимально-фазовые цепи имеют, как правило, структуру мостовых (скрещенных) схем, в которых сигнал на выход проходит по двум каналам или более. Простейший пример неминимально-фазовой цепи – симметричный мостовой четырехполюсник, образованный элементами R и С. Здесь, как легко убедиться,

K(p) = (pRC - 1)/(pRC + 1).

Данная функция имеет нуль передаточной функции в точке p = 1/(RC), т.е. в правой полуплоскости.

Однако мостовая структура не гарантирует автоматически принадлежность цепи к минимально-фазовому классу и в каждом отдельном случае следует проверять наличие или отсутствие нулей в правой полуплоскости.

Связь между модулем и фазой частотного коэффициента передачи. Доказано, что четырехполюсники минимально-фазового типа обладают замечательной особенностью: модуль и фаза их частотного коэффициента передачи, т.е. АЧХ и ФЧХ этих цепей, однозначно связаны друг с другом. Вещественная и мнимая части логарифма частотного коэффициента передачи

ln {/K(jw)/ exp[j_K(w)]} = ln /K(jw)/ + j_K(w) = _K(w) + j_K(w)

образуют пару преобразований Гильберта:

(7.13)

В четырехполюснике минимально-фазового типа невозможно, реализуя заданную АЧХ, получить любую ФЧХ. Так, если АЧХ минимально-фазового четырехполюсника на какой-нибудь частоте достигает максимума, то ФЧХ в окрестности этой частоты проходит через нуль. Если же четырехполюсник принадлежит к классу цепей неминимальной фазы, то АЧХ и ФЧХ независимы друг от друга. Среди неминимально-фазовых цепей особо важную роль играют так называемые всепропускающие четырехполюсники, у которых модуль коэффициента передачи постоянен и не зависит от частоты. Примером может служить симметричный мостовой RC-четырехполюсник, для которого

/K(iw)/ = 1; _K = -2 arctg wRC.

Подобные четырехполюсники используются для целей фазовой коррекции сигналов. Они позволяют частично компенсировать искажения формы сигналов, прошедших через радиотехнические устройства.

Коэффициент передачи мощности. Как известно, коэффициент передачи мощности – это квадрат модуля частотного коэффициента передачи четырехполюсника:

K_p(w) = K(iw) K*(iw) = K(iw) K(-iw). (7.14)

В отличие от самого коэффициента передачи K(iw) функция K_p(w) вещественна и положительна (по определению квадрата модуля) и поэтому особенно удобна для задания исходных данных к синтезу четырехполюсника. Однако она не содержит сведений о ФЧХ системы. Как видно из (7.14), коэффициент передачи мощности – четная функция частоты с вещественными коэффициентами, и поэтому он всегда может быть представлен в виде отношения двух многочленов по степеням w²:

K_p(w) = M(w²) / N(w²). (7.15)

И в предельном случае при стремлении частоты к бесконечности не будет принимать бесконечного значения, т.к. m ≤ n.

При замене переменной p = iw функция К_р(w) аналитически продолжается с мнимой оси jw на всю плоскость комплексных частот:

К_р(р) = К(р) К(-р). (7.16)

Формула (7.16) устанавливает принципиальный факт: если a + jb – особая точка (нуль или полюс) функции К(р), то К_р(р) будет иметь такую же особую точку как при p = a + jb, так и при p = - a - jb. Принято говорить, что особые точки частотного коэффициента передачи мощности имеют квадрантную симметрию, т.е. располагаются на комплексной плоскости, имея центр симметрии в начале координат. Это свойство имеет большое значение для задач синтеза четырехполюсников, поскольку оно дает возможность восстанавливать частотный коэффициент передачи по известной функции К_р(р).