7º. Союзная система координат и ее связь с основной. Ковариантные координаты вектора

7.1. Понятие ковариантных координат вектора

Пусть:

— произвольный вектор;

— базис основной системы координат;

,  — матрица метрических коэффициентов этой системы,

;

— координаты вектора в основной системе как отмечено выше, они называются контравариантными координатами вектора .

Введем следующее понятие.

Определение 8

Ковариантными координатами вектора называются величины , определяемые по формуле:

, .

Геометрический смысл ковариантных координат вектора :

• если вектора ,  , являются ортами, то — это ортогональные проекции вектора на координатные оси основной системы координат,

• если вектора ,  , не являются ортами, то — это ортогональные проекции вектора  на указанные оси, умноженные на  , где .

7.2. Векторы, союзные базису основной системы координат

Введем следующие три вектора :

, , . (1.5.15)

Будем называть вектора векторами, союзными базису основной системы координат.

В (1.5.15) буквой обозначена величина смешанного произведения векторов :

. (1.5.16)

Как показано в п.5º, в этих обозначениях будем иметь

.

Изучим свойства союзных векторов.

Свойство 1

Справедлива формула

(1.5.17)

для всех .

Докажем утверждение для .

При имеем:

.

Здесь в последнем равенстве заменили по формуле (1.5.16)

. (1.5.16)

При можем записать

.

Данное равенство выполняется, поскольку в нем либо , а смешанные произведения и равны нулю.

Для справедливость свойства 2 доказывается аналогично.

Свойство 2

Векторы линейно независимы, и для смешанного произведения этих векторов справедлива формула

. (1.5.18)

Для доказательства утверждения вычислим сначала векторное произведение векторов и :

.

В данной записи воспользовались третьей формулой в соотношениях (1.5.15)

, , (1.5.15)

и формулой двойного векторного произведения.

Согласно (1.5.17)

(1.5.17)

справедливого для всех , будем иметь

и .

Поэтому окончательно находим

. (1.5.19)

Подставляя (1.5.19) в смешанное произведение векторов и учитывая (1.5.17):

(1.5.17)

для , получим

.

Что и требовалось доказать.

Дополнение к §5 лекции 3 по главе 1.

В этом дополнении к §5 в пункте 6 дается понятие линейных перемещений точки, а также линейных перемещений в различных координатах (декартовых, контравариантных и криволинейных). Описывается их связь между собой.

§5. Задание движения материальной точки в криволинейных координатах

6º. Линейные перемещения точки и их связь с линейными перемещениями в криволинейных координатах

6.1. Понятие линейных перемещений точки

Определение 7

Дифференциал вектор-функции , вычисленный в точке  , называется линейным перемещением точки из положения .

Дифференциал криволинейной координаты называется линейным перемещением точки по обобщенной координате .

Дифференциал контравариантной координаты называется линейным перемещением точки  по контравариантной координате .

6.2. Связь линейных перемещений и

Согласно определению дифференциала вектор-функции , имеем

. (1.5.10)

Здесь — линейное перемещение точки по координате .

Вектор имеет своим началом точку . Его контравариантные координаты обозначаем через , так что можем записать

, (1.5.11)

где

.

С другой стороны, учтем связь (1.5.6) вектор-функции с контравариантными координатами ,  :

. (1.5.6)

Здесь векторы и ,  , не зависят от контравариантных координат .

Тогда, согласно определению дифференциала функции , рассматриваемой как векторная функция переменных и задаваемой этой формулой, можем записать:

. (1.5.12)

В (1.5.12) обозначают дифференциалы координат  .

Сопоставляя (1.5.11)

(1.5.11)

и (1.5.12), видим, что величины  , являющиеся коэффициентами при  в (1.5.11), должны совпадать с коэффициентами при  в формуле (1.5.12).

Иначе говоря, дифференциалы в (1.5.12) являются координатами вектора в основной системе:

, .