4.4. Матрица метрических коэффициентов основной системы

Установим связь матрицы метрических коэффициентов  , , основной системы координат с криволинейными координатами .

Поскольку , то, подставляя (1.5.5)

, , (1.5.5)

находим

.

Очевидно, при , так как .

Поэтому в общем случае основная система координат, построенная в любой точке  , является косоугольной.

Легко видеть, что через матрицу матрица  может быть представлена произведением

.

Отсюда следует, в частности, что

,

где

обозначает смешанное произведение векторов  .

5º. Ортогональные криволинейные координаты и условия их ортогональности

Определение 5

Если взаимно ортогональные векторы, то основная система координат называется ортогональной.

Определение 6

Если основная система координат ортогональна при любых значениях из области  , то криволинейные координаты называются ортогональными.

Справедливо следующее утверждение.

Криволинейные координаты ортогональны тогда и только тогда, когда при любых из области  выполняются условия

, , . (1.5.9)

Утверждение очевидно.

Следует отметить, что условия (1.5.9) ортогональности криволинейных координат должны выполняться при любых значениях криволинейных координат из области  .

Иначе говоря, равенства (1.5.9) должны быть справедливы в любом положении точки .

Этот вывод вытекает из определения 6 ортогональных криволинейных координат.

Но данное требование равносильно тому, что соотношения (1.5.9) должны выполняться в любой точке , имеющей координаты  .

Поэтому при вычислении векторов и по формулам (1.5.5)

, , (1.5.5)

можно заменить в (1.5.5) координаты точки на координаты точки  .

Такое действие позволяет исключить индекс «0» в обозначении аргументов  при вычислении производных от вектор-функции в формулах (1.5.6)

(1.5.6)

и требовать от равенств (1.5.9), чтобы они выполнялись при любых значениях .

С учетом сказанного условия (1.5.9)

, , , (1.5.9)

в скалярной форме примут вид:

,

, , при .

К ним следует присоединить условие (1.5.2) некомпланарности векторов :

,

причем:

• если тройка векторов правая, то

• если тройка векторов левая, то

.

Ниже, в Дополнении к §5 в пункте 6 дается понятие линейных перемещений точки, а также линейных перемещений в различных координатах (декартовых, контравариантных и криволинейных). Описывается их связь между собой.

6º. Линейные перемещения точки и их связь с линейными перемещениями в криволинейных координатах

Введем понятия линейных перемещений точки

Определение 7

Дифференциал вектор-функции , вычисленный в точке  , называется линейным перемещением точки из положения .

Дифференциал криволинейной координаты называется линейным перемещением точки по обобщенной координате .

Дифференциал контравариантной координаты называется линейным перемещением точки  по контравариантной координате .

Линейное перемещение , линейные перемещения , и линейными перемещения по контравариантным координатам  связаны между собой следующими соотношениями

,

,

, .

Здесь коэффициенты Ламе и базисные векторы , , вычисляются в точке  .

Вывод этих соотношений описывается в дополнении к пункту 6, §5 этой главы в конце данной лекции.