4.2. Связь контравариантных и криволинейных координат

Обозначим радиус-вектор точки  относительно точки  (см. рис.1.5.4).

Его связь с контравариантными координатами задается разложением по векторам  :

.

Связь произвольных положений точки  относительно точек отсчета  и определяется соотношением

.

В нем:

и обозначают положения относительно точки отсчета  точек  и , соответственно,

— положение точки  относительно точки отсчета  .

Рис.1.5.4

Пусть и — криволинейные координаты точек  и , соответственно. Тогда, согласно (1.5.1)

, (1.5.1)

вектора и определяются равенствами:

и .

Вектор , как отмечалось выше, задается разложением по векторам  :

.

Поэтому указанную связь

.

можем переписать в следующей форме:

(1.5.6)

Равенство (1.5.6) определяет в неявном виде зависимость обобщенных координат  точки  от ее контравариантных координат и от криволинейных координат точки  , в которой построена соответствующая основная система  .

4.3. Связь контравариантных и декартовых координат

Из формулы (1.5.6) легко получить связь декартовых координат   с контравариантными координатами  .

Действительно, в (1.5.6) базисные вектора основной системы вычисляются через криволинейные координаты точки  , соответственно, по формулам:

,

, .

Поэтому, проектируя (1.5.6)

(1.5.6)

на оси ,  ,  , получим искомую связь:

(1.5.7)

В (1.5.7) декартовые координаты , , векторов :

, , , ,

вычисляются в точке  ,

— декартовые координаты точки  ,

— декартовые координаты точки  .

В матричном виде соотношения (1.5.7) запишутся так:

, (1.5.8)

где .

Матрица называется матрицей перехода от основной системы координат к декартовой прямоугольной системе .

Ее элементы вычисляются через криволинейные координаты точки  .

Столбцы матрицы состоят из направляющих косинусов векторов  относительно осей системы  .

Из (1.5.8) находим обратную зависимость от :

.

Матрица называется матрицей перехода от системы к основной системе  .