2º. Задание движения материальной точки в криволинейных координатах

Определение 2

Движением материальной точки в криволинейных координатах времени называем дважды непрерывно дифференцируемые функции , задающие криволинейные координаты точки в каждый момент времени .

Задать движение в криволинейных координатах — это значит:

• задать зависимость положения материальной точки  от ее криволинейных координат

,

• задать закон изменения криволинейных координат материальной точки от времени на промежутке

Если известно движение  материальной точки в криволинейных координатах , то векторное задание ее движения получим подстановкой функций в вектор-функцию  , устанавливающую связь положения точки с криволинейными координатами:

.

3º. Геометрические характеристики криволинейных координат

Пусть соотношение (1.5.1)

(1.5.1)

задает связь криволинейных координат вектора с декартовыми координатами .

3.1. Координатные поверхности

Зафиксируем одну из криволинейных координат. Например, положим в (1.5.1)

.

В полученном соотношении

(1.5.4)

координаты ,  будем рассматривать как переменные параметры.

Уравнение (1.5.4) задает в пространстве  поверхность.

Она называется координатной поверхностью, отвечающей координате , или первой координатной поверхностью.

Обозначим ее .

Аналогично определяются:

координатные поверхности, отвечающие координате  и координате , иначе говоря, вторая и третья координатные поверхности.

Обозначим их и , соответственно.

Уравнения поверхностей и получаются из (1.5.1) фиксированием одной из координат или , соответственно.

3.2. Координатные линии

Зафиксируем в (1.5.1)

(1.5.1)

значения двух криволинейных координат:

и .

Тогда будем иметь

.

Это соотношение задает в пространстве кривую, которая является пересечением координатных поверхностей и :

,

.

Такая кривая называется первой координатной линией.

Аналогично определяются вторая и третья координатные линии.

Их уравнения имеют вид:

и ,

соответственно.

Вторая координатная линия является пересечением координатных поверхностей и :

,

,

а третья координатная линия — пересечением поверхностей и :

,

.

Все координатные линии пересекаются в точке  , обобщенные координаты которой имеют значения .

Здесь — значения переменных , по которым строились первая, вторая и третья координатные линии.

3.3. Координатные поверхности и координатные линии в цилиндрической системе координат

Обратимся снова к примеру 1.

В цилиндрической системе координатные поверхности и координатные линии изображены на рис.1.5.1.

Координатными поверхностями являются:

• первая:

— цилиндрическая поверхность,

(на рисунке изображена часть этой поверхности, ограниченная дугами и и отрезками и );

• вторая:

— полуплоскость, ограниченная осью  и проходящая через ось  и точку  ,

(на рисунке – это плоскость прямоугольника );

( )

( )

( )

Рис.1.5.1

• третья:

– плоскость, параллельная плоскости и проходящая через точку  (на рисунке – это плоскость сектора  ).

Координатные линии:

• первая:

– луч с направляющим ортом ;

• вторая:

– окружность радиуса с центром в точке  ;

ее плоскость ортогональна орту , а – орт касательной в точке  ;

• третья:

– прямая с направляющим ортом .