§5. Задание движения материальной точки в криволинейных координатах
1º. Понятие криволинейных (обобщенных) координат точки
1.4. Примеры криволинейных координат
Пример 1
Цилиндрическая система координат
Положение
точки 
задается переменными
(см. рис.1.5.1).
(
)
(
)
(
)
Рис.1.5.1
Переменные имеют следующий геометрический смысл:
— расстояние
от полюса
до проекции точки
на плоскость 
.
Его значения удовлетворяют неравенству:
.
— угол
в плоскости
,
отсчитываемый от положительного
направления оси 
до луча 
.
Здесь
— это проекция точки
на плоскость
.
Угол принимает значения из промежутка
.
Положительное направление отсчета угла задается правилом правой руки.
— проекция
радиус-вектора
точки
на ось 
;
,
где
— проекция точки
на ось
.
Переменная может принимать любые значения
.
Связь
декартовых прямоугольных координат
точки
с цилиндрическими
задается следующими формулами:
Обратная зависимость от , т.е. связь цилиндрических координат с декартовыми, имеет вид:
,
,
.
Если
,
то
аналогичным образом можно ввести
цилиндрические координаты
по отношению к системе координат
,
у которой, например, полюс
смещен вдоль оси
,
ось
совпадает с осью
,
а оси
и
коллинеарны осям
и
,
соответственно.
В тех случаях, когда движения точки могут приводить ее на ось , следует переходить к описанию этих движений в переменных .
Пример 2
Сферическая система координат
Положение
точки
задается криволинейными координатами
, 
,
,
которые называются сферическими
(см. рис.1.5.2).
Сферические координаты имеют следующий геометрический смысл:
Координата
— это
расстояние от полюса
декартовой прямоугольной системы
координат до точки
.
Принимает
значения
.
Координата
— это
угол в плоскости
между положительным направлением оси
и проекцией
вектора
на плоскость
.
Принимает
значения в диапазоне
.
Положительное направление отсчета угла задается правилом правой руки относительно орта .
Рис. 1.5.2
Координата — это угол между плоскостью и радиус-вектором точки .
Угол отсчитывается от плоскости до радиус-вектора .
Изменяться
в диапазоне
.
В частности, он принимает значения:
— если
находится на положительной
полуоси
;
— если
находится на отрицательной
полуоси
;
— если
находится в плоскости
и не
совпадает с точкой
.
Угол
положителен, если точка
принадлежит положительному полупространству
относительно плоскости
;
угол
отрицателен, если
находится в отрицательном полупространстве
относительно плоскости
.
На рисунке 1.5.2 точка обозначает ортогональную проекцию точки на плоскость , а — ортогональную проекцию точки на ось .
Связь декартовых прямоугольных координат точки со сферическими задается формулами:
,
,
.
Обратная зависимость, т.е. связь сферических координат с декартовыми, имеет вид:
,
,
.
Угол не определен в том случае, когда точка находится на оси .
Угол не определен в том случае, когда точка совпадает с точкой .