Дополнения к лекции 4 по главе 1 «Кинематика точки»

1. Дополнения к §5

§5. Задание движения материальной точки в криволинейных координатах

1.1. Дополнение 1 к §5

7º. Союзная система координат и ее связь с основной. Ковариантные координаты вектора

Поясним смысл терминов «ковариантные» и «контравариантные» координаты, которые введены в §5 в пункте 7.

В указанном пункте доказали формулу (1.5.23):

. (1.5.23)

где

,  , — координаты вектора в союзной системе,

,  , — координаты этого же вектора в основной системе,

— матрица метрических коэффициентов основной системы.

Из (1.5.23) заключаем, что имеет второй смысл.

Она является матрицей перехода от основной системы к союзной системе координат.

Заметим, что основное правило, по которому осуществляется расчет координат вектора в любой новой системе координат по координатам этого вектора, известным в некоторой фиксированной аффинной системе, является соотношение вида

, (1.5.24)

где

— координаты вектора  в «новой системе» координат,

,  , — координаты вектора  в заданной (фиксированной, «старой») системе,

— неособая матрица, называемая матрицей перехода от «старой» системы к «новой» системе координат.

Фиксируем неособую матрицу .

Будем говорить, что координаты любого вектора согласованно изменяются по отношению к его координатам ,  , заданным в фиксированной основной системе координат, если они рассчитываются по формуле (1.5.24).

Определение 9

Система координат, для которой является матрицей перехода от фиксированной основной системы, называется согласованной с основной системой через матрицу .

Из (1.5.23)

(1.5.23)

следует, что союзная система является согласованной с основной через матрицу  метрических коэффициентов основной системы.

Поэтому координаты векторов в этой (союзной) системе называются ковариантными (слово «ковариантные» в переводе с французского означает «согласованно изменяющиеся»).

Они согласованно изменяются через матрицу .

Основные координаты вектора  могут быть вычислены через согласованные координаты  (координаты этого вектора в новой системе координат) при фиксированной матрице  по формуле

. (1.5.25)

Очевидно, матрица является матрицей перехода от «новой» системы координат к «старой» (основной) системе.

В этом случае выражение (1.5.25) можем трактовать как обратный закон пересчета координат, а координаты  вектора  в основной («старой») системе могут рассматриваться как координаты «противоположно меняющиеся» при фиксированной матрице  по отношению к новым координатам.

Поэтому координаты вектора в основной системе (координаты  ) по отношению к союзной системе принято называть контравариантными координатами (при переводе с французского языка слово «контравариантные» означает «обратно изменяющиеся»).

Термин «контравариантные координаты» имеет и другой смысл.

А именно, он означает, что эти координаты меняются (рассчитываются) по обратному закону относительно некоторой фиксированной системы координат.

Если матрица  задана, то согласно определению 9 эти координаты согласованы с заданной фиксированной системой координат через обратную матрицу  .

Применим это правило к основной и союзной системам координат.

Если считать, что координаты союзной системы фиксированы (заданы), а основной — пересчитываются по ним, то этот пересчет осуществляется с помощью обратной матрицы .

А тогда согласно указанному выше правилу:

координаты основной системы следует называть «контравариантными», поскольку они согласованы с фиксированными (союзными) через обратную матрицу  .