8.5. Лемма Лагранжа

Установим теперь связь производных  от функции с производными и от функции  .

Такая связь дается леммой Лагранжа.

Лемма Лагранжа

При всех и любых значениях переменных выполняются равенства

а) , ;

б) , .

Здесь задается формулой (1.5.1), — формулой (1.5.32), а — правой частью равенства (1.5.35).

Доказательство

Равенство а) легко проверяется, поскольку функция  линейно зависит от  .

Равенство б) проверяется непосредственным вычислением его левой и правой части.

Вычисляя левую часть равенства б) в формулировке леммы Лагранжа, получим:

. (1.5.36)

Последнее равенство в соотношении (1.5.36) записано на основе того, что:

функция  дважды непрерывно дифференцируема по переменным .

А тогда смешанные производные от по и будут непрерывными и, следовательно, порядок дифференцирования при их вычислении можно переставлять.

При такой перестановке значения смешанных производных будут совпадать:

.

Сопоставляя (1.5.36) и (1.5.35)

, (1.5.36)

, (1.5.35)

видим, что правая и левая части равенства б) совпадают.

Лемма доказана.

В заключение отметим, что в Дополнении 1.2 к §5 в п.п. 8.6 и 8.7 дается другой вывод формулы вычисления ковариантных координат скорости, а также описывается связь декартовых координат скорости с обобщенными скоростями.

9º. Ускорение точки в криволинейных координатах. Теорема Лагранжа

В конце этой лекции в Дополнении 1.3 к §5 в п.п. 9.1 выводятся формулы для вычисления ускорения точки в декартовых координатах по ее криволинейным координатам, обобщенным скоростям и ускорениям. В п.п. 9.2 указанного Дополнения 1.3 описывается связь контравариантных координат ускорения с его декартовыми координатами.

Ниже, в п.п. 9.3 выведем формулу Лагранжа для вычисления ковариантных координат ускорения  .

9.3. Ковариантные координаты ускорения точки

Построим формулу Лагранжа для вычисления ковариантных координат , , ускорения  .

Согласно определению ковариантных координат можем записать

, .

Подставим в правую часть этого равенства значение орта  , вычисленное в точке  ,

.

Вынесем за знак скалярного произведения.

В результате придем к следующему выражению для  :

.

В нем, в соответствии с определением понятия ускорения точки, производная вычисляется вдоль движения

, , .

Поэтому в множителе производная по времени строится от суперпозиции функций и .

А потому, согласно свойству б) функции из леммы Лагранжа, множитель можно заменить производной .

Кроме того, по свойству а) из той же леммы, множитель можно заменить производной .

А тогда выражение для примет вид

. (1.5.39)

Введем функцию

,

где задается формулой (1.5.32):

. (1.5.32)

Будем иметь

, .

Подставляя в (1.5.39)

, (1.5.39)

окончательно найдем

, . (1.5.40)

Эта формула называется формулой Лагранжа для вычисления ковариантных координат ускорения точки.

Таким образом, доказали следующую теорему.

Теорема Лагранжа

Ковариантные координаты вектора ускорения материальной точки выражаются по формуле (1.5.40).

Если криволинейные координаты ортогональны, то , .

В таком случае формула (1.5.39) позволяет вычислить контравариантные координаты вектора .

Примечание 2

Оператор называется оператором Эйлера-Лагранжа.

Через него формула Лагранжа записывается в следующей форме

,

где

.

Примечание

В конце этой лекции в Дополнениях 2.1 и 2.2  к главе 1 показывается расчет кинематических характеристик точки на примере цилиндрических координат (§6) и сферических координат (§7).