8º. Скорость точки в криволинейной системе координат. Лемма Лагранжа

8.1. Понятие обобщенной скорости точки

Пусть задано движение точки в криволинейных координатах

, .

Определение 10

Величина  называется обобщенной скоростью точки  по координате  в момент времени  .

Величина  называется обобщенным ускорением точки  по координате в момент времени  .

8.2. Связь скорости точки и ее координат с обобщенными скоростями

8.2.1. Связь скорости с обобщенными скоростями точки

Установим формулу связи скорости с обобщенными скоростями .

Поскольку в векторной форме движение задается формулой

,

то по определению скорости можем записать

.

Вычисляя производную с учетом того, что функция, стоящая под символом , является суперпозицией вектор-функции  от трех переменных и заданных функций , зависящих от времени  , будем иметь

. (1.5.26)

Формула (1.5.26) дает связь скорости с обобщенными скоростями точки.

8.2.2. Связь контравариантных координат скорости с обобщенными скоростями

Вектор разложим по базису , вычисленному в точке  , имеющей значения криволинейных координат

(1.5.27)

в заданный момент времени .

В результате такого разложения придем к следующему выражению для вектора :

. (1.5.28)

Согласно определению координат любого вектора, множители при базисных векторах в разложении (1.5.28) называются контравариантными координатами скорости в основной системе.

Основная система имеет начало в точке  , положение которой в момент времени  задается криволинейными координатами со значениями (1.5.27).

Сопоставляя (1.5.26) и (1.5.28), получаем

, . (1.5.29)

Здесь — коэффициент Ламе по координате , вычисленный в положении (1.5.27) точки , которое она занимает в момент времени .

Формула (1.5.29) дает связь контравариантных координат скорости с обобщенными скоростями , .

С учетом (1.5.28) и (1.5.29), находим выражение для квадрата модуля скорости:

. (1.5.30)

8.2.3. Связь ковариантных координат скорости с обобщенными скоростями

Установим теперь связь ковариантных координат ,  , с обобщенными скоростями .

Согласно определению ковариантной координаты имеем

.

Подставляя (1.5.28) и (1.5.29), находим искомую связь

. (1.5.31)

В частности, из (1.5.29), (1.5.30) и (1.5.31) можем сделать следующий вывод.

Если — ортогональный ортонормированный базис при любых значениях (т.е. криволинейные координаты — ортогональные), то

, , и .

В общем случае (когда криволинейные координаты — не ортогональные) ковариантные и контравариантные координаты будут отличаться друг от друга:

, .

8.3. Функция и ее свойства

Введем в рассмотрение функцию  , зависящую от шести независимых переменных, и докажем лемму Лагранжа, устанавливающую связь производных от функции  и от функции .

Эта функция была введена Лагранжем и играет важную роль в описании и исследовании движений материальной точки с помощью обобщенных координат.

Функцию  определим следующей формулой

. (1.5.32)

Независимыми переменными в ней являются криволинейные координаты  и обобщенные скорости  .

Следует заметить, что точка, стоящая в обозначениях переменных  , не означает дифференцирование переменных  по времени  . Это всего лишь символ в данных обозначениях.

В правой части равенства (1.5.32) вектор  является вектор-функцией , которая задает связь (1.5.1):

, (1.5.1)

криволинейных координат точки с ее декартовыми координатами.

Функцию будем считать заданной при всех и при любых значениях  .

Поскольку дважды непрерывно дифференцируема по своим аргументам, то будет непрерывно дифференцируема по переменным  . Кроме того, она линейна по обобщенным скоростям  .

Пусть задано произвольное движение точки  в криволинейных координатах

, , (1.5.27)

Вычислим значения функции  на этом движении, полагая, что переменные ,  , связаны с обобщенными скоростями  в любой момент времени на данном движении равенствами

, .

Для того чтобы вычислить искомое значение функции, необходимо заменить в правой части равенства (1.5.32)

(1.5.32)

переменные  на , а — на  ,  .

В результате получим вектор :

.

Покажем, что вектор равен скорости точки на движении

. (1.5.27)

Для этого перейдем от координатной формы задания движения (1.5.27) к векторной. Векторную форму получим подстановкой в (1.5.1)

(1.5.1)

правых частей равенств (1.5.27).

Тогда искомая форма задания движения точки будет иметь вид

.

Дифференцируя по времени  , найдем скорость точки на движении (1.5.27):

.

Это выражение совпадает со значением функции

.

Таким образом, установили, что вектор равен скорости точки на движении (1.5.27).

Такая связь значений функции со скоростью справедлива на любом движении точки.

Поэтому формула (1.5.32)

(1.5.32)

позволяет вычислять скорость точки, если известны ее криволинейные координаты и обобщенные скорости.

А именно, для того чтобы вычислить скорость точки в момент времени  на движении (1.5.27) надо заменить в функции  переменные  на , а — на обобщенные скорости  ,  , вычисленные на этом движении.

Прежде чем формулировать лемму Лагранжа, введем понятие производной от функции  вдоль движений точки  .