
- •§5. Задание движения материальной точки в криволинейных координатах
- •7º. Союзная система координат и ее связь с основной. Ковариантные координаты вектора
- •7.3. Союзная система координат и ее связь с основной
- •7.3.1. Понятие союзной системы координат
- •7.3.2. Связь между матрицами и
- •8º. Скорость точки в криволинейной системе координат. Лемма Лагранжа
- •8.1. Понятие обобщенной скорости точки
- •8.2. Связь скорости точки и ее координат с обобщенными скоростями
- •8.2.1. Связь скорости с обобщенными скоростями точки
- •8.2.2. Связь контравариантных координат скорости с обобщенными скоростями
- •8.2.3. Связь ковариантных координат скорости с обобщенными скоростями
- •8.3. Функция и ее свойства
- •8.4. Понятие производной от функции вдоль движений точки
- •8.5. Лемма Лагранжа
- •9º. Ускорение точки в криволинейных координатах. Теорема Лагранжа
- •9.3. Ковариантные координаты ускорения точки
- •Дополнения к лекции 4 по главе 1 «Кинематика точки»
- •1. Дополнения к §5
- •§5. Задание движения материальной точки в криволинейных координатах
- •1.1. Дополнение 1 к §5
- •7º. Союзная система координат и ее связь с основной. Ковариантные координаты вектора
- •1.2. Дополнение 2 к §5
- •8º. Скорость точки в криволинейной системе координат. Лемма Лагранжа
- •8.6. Вывод второй формулы для расчета ковариантных координат скорости
- •8.7. Связь декартовых координат скорости с обобщенными скоростями точки
- •1.3. Дополнение 3 к §5
- •9º. Ускорение точки в криволинейных координатах. Теорема Лагранжа
- •9.1. Ускорение в декартовых координатах
- •9.2. Связь контравариантных координат ускорения с его декартовыми координатами
- •2. Дополнения к главе 1 «Кинематика точки»
- •2.1. Дополнение 1 к главе 1
- •§6. Кинематические характеристики точки в цилиндрических координатах.
- •Вычислим базис криволинейных координат в произвольной точке
- •Вычислим ускорение в проекциях на орты .
- •2.2. Дополнение 2 к главе 1
- •§7. Кинематические характеристики точки в сферических координатах.
- •Вычислим базис основной системы координат
- •6. Подстановка в соотношения
§5. Задание движения материальной точки в криволинейных координатах
7º. Союзная система координат и ее связь с основной. Ковариантные координаты вектора
7.3. Союзная система координат и ее связь с основной
7.3.1. Понятие союзной системы координат
Введем
аффинную систему координат с полюсом
в точке
и базисными векторами, совпадающими с
.
Эта
система координат называется союзной
по отношению к исходной, т.е. основной,
системе координат
с базисом
и полюсом в точке
.
Матрицу
метрических коэффициентов союзной
системы будем обозначать
,
а элементы этой матрицы —
,
.
Так что будем иметь:
,
,
.
Пусть
— координаты вектора
в союзной системе координат, и
— координаты этого вектора в основной
системе координат, другими словами -
его контравариантные координаты.
Покажем, что координаты вектора в союзной системе совпадают с его ковариантными координатами, т.е. справедлива формула
,
. (1.5.20)
Действительно, по определению координат вектора в союзной системе можем записать
.
Умножая
это равенство скалярно на
,
слева (по
определению ковариантных координат
вектора
)
будем иметь
,
где
—
-я
ковариантная координата вектора
.
Учитывая (1.5.17):
(1.5.17)
справа получим
.
Таким образом, равенства (1.5.20) доказаны.
7.3.2. Связь между матрицами и
Докажем справедливость соотношения
. (1.5.21)
Действительно, для любого вектора можем записать
. (1.5.22)
Умножая
(1.5.22) последовательно (для
)
скалярно на
,
получим
,
.
Эта система в матричном представлении имеет вид:
. (1.5.23)
Умножая
(1.5.22) последовательно (для
)
скалярно на
,
находим
,
.
Соответственно, в матричном представлении имеем:
.
Подставляя в левую часть соотношение (1.5.23), придем к системе
,
где
— единичная матрица размерности
.
В силу произвольности вектора получаем
.
Отсюда следует справедливость соотношения (1.5.21)
. (1.5.21)
Докажем следующее утверждение.
Прежде чем формулировать его, проделаем построения:
по заданной исходной основной системе координат построим союзную систему;
построенную союзную систему возьмем в качестве новой основной;
по ней построим систему, союзную к этой новой основной.
Утверждение.
Результатом такого построения будет союзная система, совпадающая с изначально заданной основной системой.
Коротко это утверждение формулируется так:
«Союзная система к союзной совпадает с основной».
Утверждение будет доказано, если покажем, что
,
,
,
где
.
Докажем, например, справедливость первой формулы (остальные — доказываются аналогично).
Выше было установлено (см. (1.5.19)):
. (1.5.19)
Кроме того, из (1.5.18) (свойство 2):
(1.5.18)
имеем
.
Поэтому
для вектора
можем записать
,
что и требовалось доказать.
Из доказанных свойств, в частности, вытекает, что если основной базис является ортонормированным ортогональным базисом, то союзная система координат совпадает с основной.
В
таком случае ковариантные
координаты
вектора
(величины
)
совпадают
с
соответствующими контравариантными
координатами
(величинами
).
Ниже в Дополнении 1.1 к §5 даются пояснения смысла терминов «контравариантные» и «ковариантные» координаты.