Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекция 5. Кинематика Гл.1 18пт.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.04.2025
Размер:
1.14 Mб
Скачать

39

ЛЕКЦИЯ 5. КИНЕМАТИКА. Глава 1. (Лекция 4 по гл. 1) §5к. С. 1-23. Доп. к §5. С.24-33. Доп. к гл.1. С.34-43. 31.07.2012

§5. Задание движения материальной точки в криволинейных координатах

7º. Союзная система координат и ее связь с основной. Ковариантные координаты вектора

7.3. Союзная система координат и ее связь с основной

7.3.1. Понятие союзной системы координат

Введем аффинную систему координат с полюсом в точке  и базисными векторами, совпадающими с .

Эта система координат называется союзной по отношению к исходной, т.е. основной, системе координат с базисом и полюсом в точке  .

Матрицу метрических коэффициентов союзной системы будем обозначать , а элементы этой матрицы — , .

Так что будем иметь:

, , .

Пусть — координаты вектора в союзной системе координат, и — координаты этого вектора в основной системе координат, другими словами - его контравариантные координаты.

Покажем, что координаты вектора в союзной системе совпадают с его ковариантными координатами, т.е. справедлива формула

, . (1.5.20)

Действительно, по определению координат вектора в союзной системе можем записать

.

Умножая это равенство скалярно на , слева (по определению ковариантных координат вектора ) будем иметь

,

где -я ковариантная координата вектора  .

Учитывая (1.5.17):

(1.5.17)

справа получим

.

Таким образом, равенства (1.5.20) доказаны.

7.3.2. Связь между матрицами и

Докажем справедливость соотношения

. (1.5.21)

Действительно, для любого вектора можем записать

. (1.5.22)

Умножая (1.5.22) последовательно (для ) скалярно на , получим

, .

Эта система в матричном представлении имеет вид:

. (1.5.23)

Умножая (1.5.22) последовательно (для ) скалярно на , находим

, .

Соответственно, в матричном представлении имеем:

.

Подставляя в левую часть соотношение (1.5.23), придем к системе

,

где — единичная матрица размерности .

В силу произвольности вектора получаем

.

Отсюда следует справедливость соотношения (1.5.21)

. (1.5.21)

Докажем следующее утверждение.

Прежде чем формулировать его, проделаем построения:

  • по заданной исходной основной системе координат построим союзную систему;

  • построенную союзную систему возьмем в качестве новой основной;

  • по ней построим систему, союзную к этой новой основной.

Утверждение.

Результатом такого построения будет союзная система, совпадающая с изначально заданной основной системой.

Коротко это утверждение формулируется так:

«Союзная система к союзной совпадает с основной».

Утверждение будет доказано, если покажем, что

,

,

,

где .

Докажем, например, справедливость первой формулы (остальные — доказываются аналогично).

Выше было установлено (см. (1.5.19)):

. (1.5.19)

Кроме того, из (1.5.18) (свойство 2):

(1.5.18)

имеем

.

Поэтому для вектора можем записать

,

что и требовалось доказать.

Из доказанных свойств, в частности, вытекает, что если основной базис является ортонормированным ортогональным базисом, то союзная система координат совпадает с основной.

В таком случае ковариантные координаты вектора (величины  ) совпадают с соответствующими контравариантными координатами (величинами  ).

Ниже в Дополнении 1.1 к §5 даются пояснения смысла терминов «контравариантные» и «ковариантные» координаты.