Сокращение количества промежуточных решений (итераций)

При решении задач распределительным методом число промежуточных решений можно значительно уменьшить, если первый вариант загрузки клеток таблицы (опорный план) произвести не по диагональному методу, а другими методами, основанными на предварительном анализе исходных данных задачи. Такие методы иногда позволяют в первом же варианте решения получить оптимальный ответ или значение, близкое к оптимальному.

Известно несколько методов сокращения промежуточных решений или, как их часто называют, методов приближенного решения.

Рассмотрим три метода: метод аппроксимации Фогеля, метод последующего анализа (метод «стрелок») и метод двойного предпочтения.

Метод аппроксимации Фогеля. Исходные данные задачи записываются в таблицу, отличающуюся от формы таблиц третьего способа тем, что она имеет дополнительно строку и столбец разностей (табл. 14).

Разницы между двумя наименьшими значениями расстояний каждой строки записываются в столбце разностей, а разницы по столбцам — в строке разностей.

Из всех разниц, полученных по строчкам и столбцам, выбирается наибольшая. Клетка с наименьшим расстоянием (при решении задачи на минимум), расположенная в столбце или строке, имеющей наибольшую разницу, загружается максимально возможным количеством груза. При этом учитывается потребность грузопоглощающей и возможности грузообразующей точек.

Если же окажется несколько одинаковых разниц, имеющих максимальные значения (строка А₂ и столбец В₁), то в соответствующих им столбцах или строчках находят и загружают седловую точку.

Таблица 14

Седловой точкой называют клетку таблицы, расстояние которой имеет наименьшее значение (при решении задачи на минимум) из всех расстояний ее строки и столбца или наибольшее значение при решении задачи на максимум.

При наличии независимых седловых точек, т. е. расположенных в различных строчках и столбцах, загружают их одновременно. Когда седловые точки отсутствуют, для строк или столбцов, имеющих максимальные одинаковые разницы, находят дополнительные разницы.

Загружается клетка с оптимальным элементом целевой матрицы, у строки или столбца которой дополнительная разница будет наибольшей.

Например, дополнительной разницей к столбцу В₁ будет разница между вторым по величине значением расстояния (8 км, клетка A₂B₁) и наименьшим расстоянием (оптимальным элементом целевой матрицы) строки А₂ (клетка А₂В₂), равная 8 - 2 = 6.

Дополнительная разница к строке А₂ будет найдена, если из второго по величине значения строки А₂ (8 км, клетка А₂В₁) отнимем наименьшее значение расстояния столбца В_І (2 км, клетка А₃В₁: 8 – 2 = 6.

Дополнительные разницы оказались равными и, следовательно, не дают возможности определения преимущества загрузки какой-либо из точек. Можно было бы произвольно загрузить любую из точек, оптимальных для строки А₂ или столбца В₁ но это не всегда поможет уменьшить число шагов решения, которое в дальнейшем будет производиться распределительным методом. В таком случае следует определить аналогичным путем вторую дополнительную разницу к выбранным столбцам или строчкам.

В данном примере второй дополнительной разницей к столбцу В₁ будет разница между третьим по величине значением расстояния, стоящим в клетках столбца (клетка А₁В₁, 16 км), и наименьшим значением расстояния в строке А₁ (клетка А₁В₄, 4 км), которая равна 16 - 4 = 12.

Вторая дополнительная разница к строке А₂ будет найдена, если из расстояния клетки А₂В₃ (12 км) вычесть расстояние клетки А₃В₃ (8 км): 12 - 8 = 4.

Загружается в первую очередь та из оптимальных точек, у столбца или строки которой какая-либо из дополнительных разниц имеет наибольшее значение.

В нашем примере нет необходимости находить дополнительные разницы, поскольку имеются две независимых седловых точки (А₃В₁ и А₂В₂), которые можно загрузить одновременно с учетом имеющихся ограничений по спросу и предложению (табл. 15). Оставшиеся клетки столбцов В₁ и В₂ отмечаются знаком «X». Разницы столбцов В₁ и В₂ перечеркиваются, и ставится знак «К», означающий, что в данных столбцах распределение груза окончено. Затем определяются новые разницы для всех строк и столбцов. При этом загруженные клетки и свободные клетки, отмеченные знаком «X», не берутся во внимание. Если вновь полученные разницы отличаются от полученных ранее, то последние зачеркиваются, а рядом с ними записываются новые значения. Далее действия повторяются, пока весь груз не будет распределен. Последние одна или две клетки загружаются без определения разностей.

Полученный по методу аппроксимации Фогеля вариант решения проверяется на оптимальность с соблюдением правила модифицированного распределительного метода. Если он оказывается неоптимальным, то дальнейшее решение производится по алгоритму модифицированного распределительного метода.

Т аблица 15

В данном случае распределение груза, произведенное по методу аппроксимации Фогеля, является оптимальным решением (см. табл. 15).

Метод последующего анализа (метод «стрелок»). Рассмотрим этот метод на задаче, исходные данные которой записаны в табл. 16.

Закрепление потребителей за грузоотправителями, начиная с первого потребителя (столбец В₁), производится с учетом наименее возможного расстояния перевозки. При этом учитываются не только потребности потребителей, но и наличие груза у грузоотправителей. Полученное таким путем первое решение анализируется с целью выявления возможностей его улучшения.

В строке А₁ можно передвинуть из клетки А₁В₄, имеющей расстояние 8 км, 150 т груза в клетку А₁В₁ с расстоянием 7 км и 100 т груза в клетку А₁В₂ с расстоянием 5 км.

В результате этого расстояние перевозки груза из точки А₁ сократится в первом случае на 1 км, а во втором —-на 3 км.

Вместо передвинутых 250 т груза из клетки А₁В₄ следует переместить в клетку А₂В₄ и А₃В₄ соответствующее количество груза из клеток А₁ и А₃В₂. Эта передвижка также позволяет сократить расстояние перевозки груза потребителем из точек А₂ и А3. Анализируя оставшиеся загруженные клетки, можно убедиться в целесообразности перемещения 100 т груза из клетки А₁В₃ в клетку А1В₂ вместо них столбец В₃ получит загрузку из клетки А₂В₂, загрузится клетка А₂В₃.

Таблица 16 І

Хотя перемещение загрузки из клетки А₂В₂ в клетку А₂В₃ повлечет за собой увеличение расстояния перевозки на 2 км, сокращение расстояния на 4 км в результате передвижки груза из А₁В₃ в А₁В₂ даст общее уменьшение расстояния на 2 км.

Закончив улучшение плана поставок за счет перемещения их в клетки с меньшим расстоянием по строкам матрицы (см. табл. 16), переходят к рассмотрению возможности улучшения решения путем передвижения загрузок клеток по столбцам (табл. 4.17).

В данном случае по столбцу В₄ следует переместить из клетки А₂В₄ 100 т в клетку А₃В₄, одновременно передвинув такое же количество груза по столбцу В₃ из А₃В₃ в А₂В₃.

Следует иметь в виду, что передвижение будет рационально, если сумма расстояний, указанных в углах клеток, из которых перемещается загрузка, будет больше, чем сумма расстояний клеток, в которые передвигается загрузка.

Последующий анализ строк и столбцов таблицы показывает, что загрузка находится в клетках с наименьшим расстоянием и передвигать ее нецелесообразно. Проверяя полученный вариант закрепления потребителей за грузообразующими точками с помощью модифицированного распределительного метода, убеждаемся в оптимальности решения (табл. 18).

Если оптимальный вариант не найден, то дальнейшее решение производится обычным путем с помощью распределительного метода.

Таблица 4.17

При решении задач настоящим методом можно встретиться со случаем, когда число загруженных клеток в последнем распределении окажется большим, чем п +т - 1, и при проверке оптимальности решения неизбежно для какой-либо строки или столбца таблицы будут найдены два потенциала, которые не позволят осуществить правильное решение. Чтобы устранить такую ситуацию в распределении поставок, нужно произвести следующие действия:

1. Построить для загруженной клетки, по которой одновременно определяются два потенциала, контур так, чтобы все его углы лежали в загруженных клетках.

2. Углы контура обозначить попеременно знаками «+» и «-».

Углу, лежащему в загруженной клетке, для которой построен контур, первому придается знак « + ».

3. Выявить наименьшую загрузку в клетках, запятых углами контура со знаком «+». Вычесть ее из всех этих клеток и прибавить во все клетки, занятые углами со знаком «-».

В результате таких действий количество загруженных клеток сократится. При этом ранее найденное распределение не ухудшится. Оно или будет улучшено или останется неизменным.

Метод «стрелок» более рационально применять при решении задач, требующих построения небольших матриц. Когда же требуется построение таблиц со значительным числом клеток, наименее трудоемким оказывается метод аппроксимации Фогеля.

Таблица 18

Метод двойного предпочтения. В основе этого метода лежит анализ элементов целевой матрицы — по строчкам и столбцам таблицы, в процессе которого выявляются клетки с оптимальным (как по строке, так и по столбцу) элементом. Эти клетки отмечаются каким-либо знаком (*) и загружаются с учетом ограничений по спросу и предложению, после чего свободные клетки строчек и столбцов, исчерпавших свои возможности, зачеркиваются (табл. 19).

Таблица 19

Таблица 20

Затем те же самые действия повторяют со строчками и столбцами, ограничения которых еще позволяют производить распределения, не принимая во внимание ранее загруженные и вычеркнутые свободные клетки (табл. 20). Построение опорного плана (первого возможного базисного варианта решения) будет закончено, когда будут исчерпаны все ограничения по предложению и удовлетворен весь спрос (табл. 21).

Таблица 4.21

Дальнейшее решение производится по алгоритму распределительного метода.

Опорный план, построенный по методу двойного предпочтения, в данном.примере является оптимальным решением, в чем нетрудно убедиться, проверив его методом моди.