1.2. Екстраполяційний метод

Як було показано вище, прискорений пошук вимушених періодичних режимів зводиться до обчислення початкових умов, які дають можливість в процесі інтеґрування рівнянь стану системи отримати безпосередньо усталений режим в обхід перехідного. Застосування методу Ньютона (2) для цієї цілі передбачає обчислення матриці монодромії.

Визначення початкових умов, що виключають перехідну реакцію системи, можна проводити екстра­поляційним методом, який не залежить від природи диференціальних рівнянь кола і тому позбавлений процедури обчислення матриці монодромії.

Екстраполяційні методи цільову функцію використовують у вигляді Інтеґруючи (2.3) на періодах, породжуємо послідовність значень

(16)

де – період вхідної дії. Для послідовності (16), починаючи з , застосовуємо екстраполяцйну формулу

, (17)

де – початкові умови входження в усталений режим.

В якості функції EXTR доцільно використати – алґоритм, який виконує обчислення границі послідовності з експоненційними складовими. Формула для обчислення наступного значення має вигляд

(18)

де Результат екстраполяції, що відповідає EXTR в (17) рівний В (18) використовується про­цедура обертання Самельсона де – k-й елемент n-мірної колонки .

Для систем розмірності значення . У нашому прикладі =3. Початкові умови усталеного режиму для швидкозатухаючих перехідних реакцій компонент визначаємо інтеґруванням рівнянь стану системи на періодах. Як правило . На жаль, не існує строгого критерію вибору i , тому тут можливий лише еврістичний підхід. Основний недолік екстраполяційних методів полягає в необхідності інтеґрування рівнянь динаміки на значному інтервалі часу.

Алґоритм обчислень

1. Інтеґруємо рівняння (6), від заданих по­чаткових умов на періодах і визначаємо початкові умови періодичного режиму швидкозатухаючих компонент .

2. Маючи на -й ітерації початкові умови змінних стану (на першій ітерації умови п.1), інтеґруємо рівняння (6) на 6 періодах і породжуємо послідовність

. (19)

3. Згідно (18) визначаємо уточнене значення початкових умов

(20)

4. Перевіряємо умову (15) збіжності ітераційного процесу. Якщо вона не виконується, то процес повторюємо з п.2, в противному випадку зупиняємо ітераційний процес.

1.3. Метод середніх значень

Розглянуті вище методи прискореного пошуку усталених режимів відносяться до універсальних. Незручність використання методу Ньютона пов'язано з необхідністю інтеґрування варіаційних рівнянь і формування матриці монодромії; екстраполяційного – необхідністю інтеґрування диференціальних рівнянь стану системи на значному інтервалі часу.

Цей метод немає таких недоліків і значно прості­ший, однак, клас розв'язування ним задач обмежений. По-перше, інтеґровані змінні не повинні містити постійних складових, або ці складові повинні бути наперед відомі. По-друге, як правило, пропонований метод можна застосувати лише до систем, які містять електричні кола активно-індуктивного або активнo-ємнісного характеру. Тому цей алґоритм не може конкурувати з універсальним методом.

Даний метод передбачає обчислення середнього значення функції на інтервалі періоду , яке згідно означення обчислюється за формулою

(21)

де - період вхідної дії. Якщо функція в усталеному режимі періодична з періодом і не містить постійних складових, тоді . Саме ця умова є фундаментальною в методі середніх значень. Очевидно, що в перехідному режимі і його можна розглядати як певне відхилення. Отже, ітераційна формула може бути записана у вигляді

(22)

Використовуючи методи чисельного інтеґрування вираз (21) можна записати в дискретній формі. Так, згідно методу Сімпсону маємо

(23)

де – число дискретних значень функції на інтевалі .

Обчислити вираз (21) можна також методом прямокутників

(24)

Тоді ітераційна формула (22) за методом Сімпсона набуде вигляду

(25)

а за методом прямокутників буде дещо простішою

(26)

В частковому випадку, якщо функція близька до гармонічної з деякою постійною складо­вою, то середнє значення буде рівне цій постійній складовій. Очевидно, що її екстремальні значення будуть відрізнятися саме на вели­чину цієї складової, тому середнє значення функції (21) можна визначити через її екстремуми

, (27)

де – максимальне і мінімальне значення функції на інтервалі періоду . Як показує досвід, співвідношення (27) доцільно використовувати в поєднанні з методом простої ітерації тоді формула (22) набуде вигляду

. (28)

Зрозуміло, що чим триваліший перехідний процес, тим більший виграш за витратами машинного часу ми будемо отримувати використовуючи ітераційну формулу (28). Можливі випадки, коли частина компонент містить постійні складові, але ці компоненти мають швидко затухаючу перехідну реакцію. Тоді до цих компонент застосовуємо метод простої ітерації, а до решти, що не містять постійної складової – ітераційну формулу (28).