69. Программная реализация алгоритмов управления в цифровых системах

Основа автоматизированного проектирования математическое описание функционирования системы. В н.в. преобладают и широко используются три способа математического описания автоматических систем: 1) метод передаточных функций и тесно связанные с ними частотные характеристики; 2) метод переменных состояния; З) структурно-топологические методы.

Метод передаточных функций, по существу, представляет собой применение преобразования Лапласа и частотной теории для изучения качественного поведения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. В основе метода переменных состояния лежит представление дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши, которое дополняется алгебраическими уравнениями, связывающими выходные переменные с переменными состояния

Математическим аппаратом метода переменных состояния (МПС) являются матричное исчисление и вычислительные методы линейной алгебры. Метод переменных состояния содействовал значительному развитию теории управления.

Топологические методы опираются на использование методов теории графов.

С точки зрения автоматизации проектирования систем управления с помощью топологических методов представляет интерес задача формирования передаточных функций по структурным схемам. Если структура системы выбрана, то, используя передаточные функции динамических звеньев и известные правила преобразования структурных схем, можно сравнительно легко составить программу получения передаточной функции разомкнутой или замкнутой системы при управляющих или возмущающих воздействиях. Программа нахождения передаточной функции сводится к раскрытию скобок, приведению подобных членов и упорядочиванию коэффициентов ПО убывающим степеням полинома. Такая программа часто является основной при машинных исследованиях (анализ устойчивости, построение частотных характеристик, построение областей устойчивости, D - разбиение в плоскости параметров и т. д.). Автоматизация формирования передаточных функций позволяет вести параметрический синтез и анализировать различные структуры. Такие программы успешно применялись для построения передаточных функций сложных систем с перекрещивающимися обратными связями. Уязвимое место таких программ - частые случаи переполнения разрядной сетки ввиду плохой «обусловленности» полинома. Кроме того, существуют технические трудности при программировании, так как некоторые алгоритмические языки (АЛГОЛ ФОРТРАН) не приспособлены для обработки буквенно-символьной информации. Решение подобных задач стало эффективным на основе топологических методов. Так, использование методов теории графов в сочетании со структурными числами дает возможность получать передаточные функции по любой структуре на языке ФОРТРАН.

Метод переменных состояния ориентирован на вычислительные методы теории матриц. Если требуется выполнить анализ устойчивости по уравнениям переменных состояния (6.1), то традиционные способы требуют предварительного приведения матрицы А к характеристическому уравнению с последующим применением критериев устойчивости или корневых методов.

Значительный эффект достигается за счет применения новых вычислительных методов. Изменение вычислительной схемы или использование нового подхода часто дает возможность принципиально решить задачу на ЭВМ. Характерна машинная постановка фильтра в задачах управления и навигации. Последовательные вычисления в соответствии с уравнением Калмана не приводят к положительно-полуопределенной матрице ошибок. Причина неудачи кроется в операциях с плохо обусловленными матрицами. Благоприятное изменение вычислительной схемы позволило применить фильтр Калмана в космической системе «Аполлон». Сущность применения вы числительной схемы состояла в использовании метода «квадратного корня матрицы». Использовался тот факт, что квадратный корень матрицы имеет разброс элементов в два раза меньший, чем исходная матрица, и в этом проявляется как бы эффект «удвоения» разрядной сетки.

В задачах анализа и синтеза автоматических систем часто имеется определенная специфика, не позволяющая в полной мере воспользоваться стандартными программами, в основу которых положены известные методы.

Прямые корневые методы, базирующиеся на построении характеристического полинома, также чувствительны к накоплению ошибок округления. Применение их для исследования линейных систем порядка n ≥ 20 показало, что накопление ошибок округления при построении характеристического полинома и последующее применение корневых методов синтеза часто приводили к совершенно неправильным результатам. Устойчивые системы при определенных сочетаниях параметров трактовались как неустойчивые и, наоборот, неустойчивые рассматривались как устойчивые.Особенно значительное накопление ошибки проявляется при сильной связи корней полинома с его коэффициентами.

Отметим еще одну особенность. Не все традиционные методы теории автоматического управления одинаково хорошо приспособлены к машинной реализации.