63. Математические модели объектов и систем управления
Под моделью понимают такой материально или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал и отражает отдельные, ограниченные в нужном направлении стороны явления рассматриваемого процесса. Таким образом, математическая модель – это приближенное отображение моделируемой системы с помощью уравнений и ограничивающих условий. Математическое описание основывается на физических, химических, энергетических и других закономерностях.
В общем случае порядок исследования САУ включает математическое описание системы и изучение ее переходных и установившихся режимов. Получение математической модели начинается с разбиения системы на звенья и описания этих звеньев.
Звеном направленного действия называют звено, передающее воздействие только в одном направлении – со входа на выход, так что изменение состояния такого звена не влияет на состояние предшествующего звена, работающего на его вход. Соответственно математическое описание всей системы в целом может быть получено как совокупность составленных независимо друг от друга уравнений или характеристик отдельных звеньев, образующих систему, дополненных уравнениями связи между звеньями.
В результате разбиения САУ на звенья направленного действия и получения математического описания отдельных звеньев составляется структурная схема системы, которая и является ее математической моделью.
Преобразование Лапласа
В настоящее время под операционным исчислением понимают совокупность методов прикладного математического анализа, позволяющих экономными средствами получать решения линейных дифференциальных уравнений, а также разностных и некоторых типов интегральных уравнений.
Операционное
исчисление нашло широкое применение в
теории автоматического регулирования,
где с его помощью производится анализ
переходных и установившихся процессов
в автоматических системах. Сущность
операционного метода заключается в
использовании прямого
преобразовании Лапласа (ППЛ),
которое некоторой функции
действительной переменной t
ставит в соответствие функцию
комплексной
переменной p:
, где
–
переменная (множитель) Лапласа.
Передаточная функция
Таким образом, передаточная функция полностью характеризует динамические свойства системы и поэтому является ее важнейшей характеристикой. Зная передаточную функцию системы, можно определить процесс изменения выходной координаты системы при наличии входного воздействия и заданных начальных условиях.
Преобразование структурных схем САУ. Отдельные звенья САУ могут быть соединены друг с другом в различных комбинациях. Зная передаточные функции звеньев, образующих сложную систему c заданной структурной схемой, можно получить передаточную функцию системы в целом, учитывая следующие правила преобразования.
1) При последовательном соединении звеньев их передаточные функции перемножаются.
2) При параллельном соединении звеньев их передаточные функции складываются.
3) Замкнутая система (система с обратной связью).
Частотная характеристика
Амплитудная частотная характеристика звена на частоте входного сигнала представляет собой отношение амплитуды установившегося выходного гармонического сигнала к амплитуде входного гармонического сигнала.