Прогнозирование с помощью расчетных формул

ЗАДАЧА 2. Имеются данные зависимости У от X. Вычис­лить коэффициенты линейной модели методом наименьших квадратов с помощью расчетных формул. Получить прогнозные значения У по линейной модели.

Решение.

Сущность метода наименьших квадратов. Необходимо найти такие значения коэффициентов а₀ и а₁ линейной модели У_i = а0 + а1 • Х_i + e_i = Ур_i + e_i, при которых сумма квадратов отклонений ∑е_i² = ∑(У_i - Ур_i)² будет минимальной, где Ур_i = а0 + а1 • Х_i

Чтобы найти минимум функции ∑е_i² необходимо вычислить частные производные по каждому коэффициенту а0 и а1, при­равнять их нулю и решить полученную систему нормальных уравнений

После несложных преобразований можно получить систему нормальных уравнений

Решение системы уравнений можно выполнить разными способами, один из которых предполагает использовать следую­щие формулы, представленные соответственно в развернутом или в матричном виде:

а0 = У_ср-а1∙Х_ср,

где Х_ср — среднее значение X;

У_ср — среднее значение У;

Ур_i = а0 + а1 • X, — расчетные значения У.

Коэффициенты а0 и а1 можно найти с помощью матричных операций:

,

где А — вектор-столбец коэффициентов модели;

X — матрица исходных данных, включающая вектор-стол­бец переменной для свободного коэффициента, векторы-столбцы объясняемых факторов;

У — вектор-столбец зависимой переменной;

Упр = а0 + а1 • Хож — прогнозное значение У при ожидаемом значении Хож.

Результаты расчетов коэффициентов а0 на а1, выполненные по развернутым формулам рис. 7.6, изображены на рис. 7.7.

Рис. 7.6. Результаты расчетов коэффициентов а0, а1 и прогноза

на Хож =11

Рис. 7.7. Формулы для расчетов коэффициентов а0, а1

и прогноза на Хож =11

Расчеты коэффициентов а0 и а1 с помощью матричных операций выполним при решении задачи 3,

Вывод. С помощью расчетных формул были получены зна­чения коэффициентов а0 и а1, а также расчетные значения У и прогноз на Хож = 11.

Прогнозирование с помощью матричных операций

ЗАДАЧА 3. Имеются данные зависимости У от X. Вычислить коэффициенты линейной модели методом наименьших квад­ратов с помощью матричных операций. Получить прогнозные значения У по линейной модели.

Решение.

В предыдущей задаче мы производили расчет коэффици­ентов модели с использованием расчетных формул, представ­ленных я скалярном виде. Существует тождественный способ вычисления коэффициентов модели с использованием расчет­ных формул, представленных в матричном виде.

Использование матричной формы записи формул и проведения расчетов имеет несколько преимуществ и не­достатков.

Преимущества заключаются в том, что запись формул приобретает очень компактный вид; вид формул, представ­ленных в матричном виде, не зависит от количества факторов, включенных н модель, и является очень удобным при расчетах характеристик многофакторных моделей.

Недостатком использования в расчетах матричных формул является необходимость хорошего знания матричной алгебры и наличия программных средств проведения мат­ричных операций. Математическое обеспечение "Ехсе1-У7" позволяет выполнять все необходимые матричные операции, кроме вычисления собственных значений и собственных век­торов матрицы.

Приводим перечень используемых матричных операций и

место их нахождения:

Транспонирование — Вставка функции, Категория: Ссылки

и массивы, Функции: ТРАНСП.

Вычисление обратной матрицы — Вставка функции, Ка­тегория: Математические, Функции: МОБР.

Умножение матриц — Вставка функции, Категория: Ма­тематические, Функции: МУМНОЖ.

Выполнение матричных функции имеет следующие осо­бенности:

• для результирующей матрицы нужно выделить необходимое количество ячеек;

• для распространения действий функции на массив необходимо следующее:

• выделите первую ячейку с расчетами и все ячейки, на которые будет распространено действие функции;

• нажмите и отпустите клавишу "F2";

• последовательно нажмите, не отпуская, клавиши "Ctrl", "Shift", "Enter", отпустите сразу все три клавиши;

• на экране появится содержимое всей матрицы.

1. Введите данные в таблицу. Скопируйте весь лист, в котором решалась задача 1.

2. Выполните расчет коэффициентов модели с помощью матричных операций.

Расчет коэффициентов модели а0, а1 в матричном виде производится по формуле

где А — вектор-столбец коэффициентов модели;

X — матрица исходных данных, включающая вектор-стол­бец переменной для свободного коэффициента, векторы-столбцы объясняемых факторов;

X' —транспонированная матрица;

(Х'Х)"¹ — обратная матрица от произведения двух мат­риц;

У — вектор-столбец зависимой переменной.

Вычислим коэффициенты модели а0, а1 в матричном виде

по формуле

в последовательности, изображенной на рис. 7.8 и 7.9

Рис. 7.8. Последовательность расчета коэффициентов модели

Рис. 7.9. Матричные формулы для расчета коэффициентов модели

После расчета коэффициентов модели вычисление Ур и Упр выполняется аналогично в соответствии с предыдущей задачей.