Понятия вычислительного приема и вычислительного навыка. Классификация вычислительных приемов

Вычислительный прием - это способ нахождения результата арифметического действия.

Вычислительный навык - это вычислительный прием, доведенный до автоматизма или высокая степень овладения вычислительным приемом.

Приобрести вычислительный навык - это значит, для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результаты арифметических действий.

Все вычислительные приемы делятся на две группы: устные и письменные.

Устные и письменные приемы имеют сходство и различия. Покажем основные отличия в таблице.

Устные вычислительные приемы	Письменные вычислительные приемы
1. Выполняются устно, записываются в строчку: 34+20=(30+4)+20=(30+20)+4=54	1. Выполняются в столбик: 25 +18 43
2. Операции начинают выполня­ться с единиц высших разрядов	2. Операции начинают выполнять с единиц низших разрядов
3. Промежуточные результаты запоминаются, записываются только на стадии ознакомления	3. Промежуточные результаты записываются
4. Теоретическая основа может быть различна: 12+12+12+12+12=60. Т.о. - конкретный смысл арифметического действия умножения. 125=(10+2)5=105+25=60. Т.о. - свойство умножения суммы на число. 125=1210:2=60. Т.о. - изменение результата в зависимости от изменения одного из компонентов.	Теоретическая основа всегда единственна. Приемы основаны на принципе по разрядности
5. Рассматриваются на области чисел, начиная с 10 и до многозначных чисел, где вычисления не затруднены	Рассматриваются на области чисел, начиная с сотни и до бесконечности.

Устные и письменные вычислительные приемы имеют сходство. Все вычислительные приемы основаны на знании теоретического материала. В зависимости от теоретического материала они делятся на шесть групп.

I группа. Вычислительные приемы, основанные на знании нумерации:

1. Знание принципа образования натуральной последовательности.

Слу­чаи вида: а+1, а-1..

Дети должны усвоить, что для того чтобы прибавить 1, надо назвать следующее число; вычесть 1 - назвать предыдущее число: 7+1; 26-1; 393+1; 10000-1.

2. Знание разрядного состава чисел. Случаи вида:

60+7 100+40+7

67-7 147-100

67-60 147-40

147-7

Или: 40+5=45 - рассуждения учащихся могут быть такие: 4 десятка и 5 единиц образуют число 45.

45-5=40 - если из 4 десятков и 5 единиц вычесть 5 единиц, то получим 4 десятка.

45-40=5 - если из 4 десятков и 5 единиц вычесть 4 десятка то получим 5 единиц.

3. Прием, основанный на знании поместного значения цифры (позиционного принципа записи чисел). В зависимости от того, на каком месте (позиции) стоит цифра в записи числа, она имеет разное значение. В эту группу входят случаи умножения и деления на 10, 100, 1000 без остатка.

Умножить на 10, значит приписать один нуль (7 умножить на 10, 7 записываем на второе место справа, на место десятков). Разделить на 10, значит отбросить один нуль.

Примеры:

710 70:10

7100 700:100

71000 7000:1000.

II группа. Вычислительные приемы, теоретической основой которых является знание конкретного смысла арифметических действий.

1. Случаи вида: а+2, 3, 4, 0, (5+5), (в пределах 20). Применяется прием присчитывания и отсчитывания по одному и группами:

3+2=5 (объединяем 3 да 2) 5-2=3

3+1=4 5-1=4

4+1=5 4-1=3

2. Случаи вида: 9+5=14 12-5=7.

9+1+4 12-2-3

3. Случаи сложения и вычитания разрядных чисел:

40+30=70 - 4 десятка плюс 3 десятка равно 7 десятков.

40-30=10 - 4 десятка минус 3 десятка получим 1 десяток.

800-400=400 - 8 сотен минус 4 сотни получим 4 сотни.

5000+3000=8000 - 5 тысяч плюс 3 тысячи получим 8 тысяч.

Случаи сложения и вычитания сводятся к сложению и вычитанию однозначных чисел.

Теоретическая основа - конкретный смысл сложения и вычитания.

4. Случаи табличного умножения, когда первый множитель меньше или равен второму.

Например: 23; 28; 35; 44.

Теоретическая основа - конкретный смысл умножения.

5. Случаи вне табличного деления, теоретической основой которых является конкретный смысл деления с остатком; конкретный смысл деления.

29:7=4 (остаток 1); 86:10=8 (остаток 6); 90:3=30.

6. Случаи умножения 0 и 1 на число, теоретической основой которых является конкретный смысл умножения.

1а=а 15=1+1+1+1+1=5 (по 1 взяли 5 раз)

0а=0 05=0+0+0+0+0=0

III группа. Вычислительные приемы, теоретической основой которых является знание правил. Сюда входят случаи умножения любого числа на 0 и 1, невозможность деления на 0.

а0; а1; а:0 (делить нельзя);

70=0 250=0;

71=7 251=25.

IV группа. Вычислительные приемы, теоретической основой которых является знание взаимосвязи между результатами и компонентами арифметических действий.

1. Случаи вида: а-5, 6, 7, 8, 9 (в пределах 10).

8-6=2

8=6+2

8-6=2

Рассуждение учащихся: какое число надо прибавить к 6, чтобы получить 8, 8 - это 6 и 2, значит, если из 8 вычесть 6, получится 2.

2. Случаи вычитания в пределах 20 вида: 12-5=7

Теоретической основой случаев 1, 2 является взаимосвязь между результатами и компонентами действия сложения.

3. Все случаи табличного деления:

21:7=3 54:6=9

4. Случаи деления разрядного числа на разрядное вида:

90:30=3, т.к. 303=90

800:400=2, т.к. 4002=800

5. Случаи внетабличного деления неразрядного числа на неразрядное вида:

54:18=3, т.к. 183=54

6. Случаи деления 0 на число и числа на 1

а:1=а 0:а=0

Например: 0:2=0, т.к. 02=0

3:1=3, т.к. 31=3

Теоретической основой случаев 3, 4, 5, 6 является взаимосвязь между результатами и компонентами действия умножения.

V группа. Вычислительные приемы, теоретической основой которых является изменение результатов в зависимости от изменения одного из компонентов (сюда входят приемы рациональных вычислений):

1. Приемы округления:

399+566=965

966-1=965

400+566=966

Здесь удобно первое слагаемое округлить до 400. Найдем сумму, чтобы сумма не изменялась, из результата вычтем 1.

2. Случаи умножения и деления на 5, 25, 50.

Примеры вида: 1850=900

Рассуждения: 50=100:2, значит 18100=1800, т.к. второй множитель увеличили в 2 раза, чтобы произведение не изменилось, его нужно разделить на 2.

Рассуждения: если первый множитель четное число и в данном случае делится на 2 рассуждать можно следующим образом: 1850=18:2100=900

Пример вида: 1625=400.

1625=400; 25=100:4, значит 16100=1600 1600:4=400.

Рассуждения: если второй множитель увеличили в 4 раза, значит, чтобы произведение не изменилось, его нужно уменьшить в 4 раза. Или: 16:4100=4100=400

Рассуждения: первый множитель уменьшаем в 4 раза, чтобы произведение не изменилось, его нужно увеличить в 4 раза.

Пример деления вида:

400:25=16 400:100=4 44=16.

Рассуждения: т.к. делитель увеличили в 4 раза, частное в 4 раза уменьшилось, следовательно, чтобы результат не изменился, частное нужно увеличить в 4 раза.

VI группа. Вычислительные приемы, теоретической основой которых является знание свойств арифметических действий.

Свойство		Объяснение
1. Переместительные свойства умножения и сложения а+в=в+а ав=ва	а+5, 6, 7, 8, 9 (в пределах 10)	3+6=6+3=9 Здесь удобнее к большему числу 6 прибавить меньшее 3, получим 9
2. Прибавление числа к сумме, вычитание числа из суммы (а+в)+с (а+в)-с	34+20 34+2 34-20 34-2 36+4 30-8 340+200 340+20 340-200	(30+4)+20= 34+20=(30+20)+4= 50+4=54 Заменяю число 34 суммой разрядных слагаемых 30 и 4, получился пример к сумме чисел 30 и 4 прибавить 20, здесь удобнее сначала к десяткам прибавить десятки, затем прибавить единицы
3. Прибавление суммы к числу, вычитание суммы из числа (а+в)=с (а+в)-с	37+5 32-8	Заменяю число 5 суммой удобных слагаемых, так, чтобы одно их них дополняло первое слагаемое до круглого числа. Получился пример: к 37 прибавить сумму чисел 3и2. Здесь удобнее, сначала к 37 прибавить 3 и к полученному результату прибавить 2.
4. Умножение суммы на число (а+в)с	Для всех случаев умножения на однозначное число (кроме случаев умножения однозначного на однозначное) 253 4675	1. 253=(20+5)3=203+53=60+15=75 2. Для письменных случаев умножения: а) умножаю единицы, подписываю под единицами; б) умножаю десятки, подписываю под десятками; в) умножаю сотни и т.д.
5. Деление суммы на число (а+в):с	Для всех случаев внетабличного деления на однозначное число 81:3 36:2 70:2 776:8 3725:5	81:3=(60+21):3=60:3+21:3=20+7=27 70:2=(60+10):2=60:2+10:2=30+5=35
6. Умножение числа на произведение а(вс)	Случаи умножения на разрядные числа 1740	1740=17(410)=17410=6810=680 17 умножаю на 4 и доумножаю на 10
7. Умножение числа на сумму а(в+с)	Случаи умножения на двузначное и трехзначное число 8534	8535 1. Умножаю на единицы, получаю первое неполное произведение. 2. Умножаю на сотни, получаю второе неполное произведение. 3. Читаю ответ
8. Деление числа на произведение	Случаи деления на разрядные числа (кроме случаев деления двузначного числа на двузначное) 440:60 420:14 5130:90 674550:90	1) 420:60=420:(106)=(420:10):6=7 2) 420:14=420:(72)=(420:7):2=30

Учителю необходимо знать теоретические основы вычислительных приемов, чтобы выработать обобщенные вычислительные навыки учащихся.

Литература

1.Белошистая А.В. Методика обучения математике в начальной школе: Курс лекций: Учебное пособие для вузов. – М.: Владос, 2007. -455.

2.Бельтюкова Г.В.,Степанова С.В. Об изменениях в программах учебниках математики. Начальная школа. №9. С.19.2008.

3.Байрамукова П.У., Джулай А.М.. Обучение математике в начальных классах: практ. и лаб. занятия.- Ростов н/Д: Феникс, 2007. – 119 с.

4.Громова Ю.Б. Приемы сложения и вычитания в пределах 1000.Управление начальной школой. 2011. № 12.

5. Фаддейчева Т.И.. Обучение устным вычислениям. Начальная школа. № 10. 2003.

2