5.Нестационарный и неординарный пуассоновские потоки

Нестационарный пуассоновский поток (который также называется потоком с переменным параметром или нестационарным простейшим потоком) есть ординарный поток без последействия, для которого в любой момент времени t существует конечный параметр λ(t), зависящий от момента t. По аналогии с простейшим потоком в качестве математической модели нестационарного пуассоновского потока выбирается вероятность p_k(t₀, t) поступления точно k вызовов за заданный промежуток времени [t₀, t). В силу нестационарности потока эта вероятность зависит не только от длины промежутка времени [t₀, t), но и от начального момента t₀:

Для неординарного пуассоновского потока, т. е. для стационарного неординарного потока без последействия, следует различать поток вызывающих моментов и поток вызовов. Поток вызывающих моментов характеризуется вероятностью появления точно i вызывающих моментов в промежутке времени t. Эта вероятность p_i(t) определяется формулой Пуассона (2.17).

В каждый вызывающий момент поступает l(1≤l≤r) вызовов. Величина l, называемая характеристикой неординарности потока, может быть постоянной и переменной. Если l является постоянной величиной, то с вероятностью p_i(t) суммарное число вызовов, поступающих за отрезок времени t, составляет k=li.

Для неординарного пуассоновского потока с переменной величиной l, в котором в каждый вызывающий момент с вероятностью ω_l поступает l вызовов также получена формула, определяющая вероятность p_k(t) поступления точно k вызовов за промежуток времени t. Ввиду громоздкости эта формула не приводится. Параметр такого потока для каждого значения l равен λω_l. Отсюда общий параметр потока

такой же, как и для потока вызывающих моментов, т. е. для простейшего потока. Интенсивность μ неординарного пуассоновского потока, как и любого стационарного неординарного потока, больше его параметра λ. Действительно,

6 . Потоки с простым последействием

Для потока с простым последействием важнейшей характеристикой считается зависимость параметра потока от состояния СМО в любой момент времени .

Если рассматривать коммутационное поле телефонной станции, то можно выделить множество , описывающее все возможные состояния. Каждый элемент множества отражает, например, состояние элемента коммутации. Если этот элемент пребывает в двух состояниях (включено – выключено), то для элементов множество состояний будет определяться величиной .

Для анализа обычно выделяют микро- и макросостояния коммутационного поля. Выбор между ними осуществляется с учетом природы решаемой задачи. Он также будет зависеть от свойств коммутационного поля. Для исследования коммутационных полей под макросостоянием обычно понимают только число занятых входов или выходов. Параметром потока в состоянии считается следующий предел:

В числителе указана вероятность поступления на отрезке одного и более вызовов, если в момент времени СМО находилась в состоянии . Эта формула позволяет сформулировать такое определение: поток с простым последействием является ординарным, для которого в любой момент времени существует конечный параметр в состоянии , зависящий только от состояния СМО – и независящий от процесса обслуживания заявок до момента времени .

Рассматриваемое последействие называется простым по следующей причине: для расчета параметра потока достаточно знать состояние СМО . Это означает, что поток с простым последействием не относится к классу стационарных потоков. Его параметр зависит от времени. Эта зависимость проявляется через состояние .

Симметричный и примитивный потоки

Симметричным потоком называется поток с простым последействием, параметр которого λ_s(t) в любой момент времени t зависит только от числа i обслуживаемых в этот момент вызовов и не зависит от других характеристик, определяющих состояние s(t) коммутационной системы. При этом зависимость параметра от числа обслуживаемых вызовов может быть подчинена любому закону. Поэтому в любом состоянии s(t) с i обслуживаемыми вызовами параметр симметричного потока один и тот же, он зависит только от i, т. е. λ_s(t)=λ_i.

Примитивным называется такой симметричный поток, параметр которого λ_i прямо пропорционален числу свободных в данный момент источников:

где n . общее число источников вызовов; i . число занятых источников; α . параметр потока источника в свободном состоянии (при этом имеет место естественное предположение . занятый источник не может производить вызовы).

Поток с простым последействием является более общим по сравнению с простейшим потоком вызовов. Простейший поток можно представить частным случаем потока с простым последействием, в том числе симметричного и примитивного потоков. С увеличением числа источников п и уменьшением параметра α последействие потока уменьшается. В предельном случае при п→∞ и α→0 так, что пα есть конечная величина и i принимает ограниченные значения, параметр потока λ=nα не зависит от состояния системы, т. е. модель примитивного потока переходит в модель простейшего потока вызовов.