Формулы Маклорена для основных элементарных функций
Задачи
2.1.
Многочлен
разложить по целым положительным
степеням
.
2.2.
Функцию
разложить: 1)
по формуле Маклорена до
;
2)
по степеням
до
.
2.3.
Функцию
разложить по формуле Маклорена до
.
2.4.
Функцию
разложить по формуле Маклорена до
.
2.5.
Функцию
разложить по формуле Маклорена до
.
2.6.
Функцию
разложить по формуле
Маклорена
до
.
2.7.
Функцию
разложить по формуле Маклорена до
.
2.8.
Функцию
разложить по формуле Маклорена до
.
2.9.
Функцию
разложить по формуле Маклорена до
.
2.10.
Функцию
разложить по формуле Маклорена до
.
2.11.
Функцию
разложить по формуле Маклорена до
.
2.12. (см.1.9.) Разложить, используя дифференцирование.
Домашнее задание 2
2.13.
Функцию
разложить по формуле
Маклорена
до
.
2.14.
Функцию
разложить по формуле Маклорена до
.
2.15.
Функцию
разложить по формуле Маклорена до
.
2.16.
Функцию
разложить по степеням
до
.
2.18.
Функцию
разложить по формуле Маклорена до
.
2.17. Функцию
разложить по формуле Маклорена до
.
Тема 3. Формула Тейлора: приближённое вычисление, вычисление пределов.
Если функция
имеет в окрестности точки
производные до
-го
порядка включительно, то остаточный
член формулы Тейлора может быть
представлен в форме Лагранжа
,
где точка
расположена между
и
.
Такое представление остаточного члена
удобно использовать при вычислении
погрешности, получаемой в результате
замены функции её многочленом Тейлора
на некотором интервале.
Задачи
3.1.
С помощью формулы Тейлора приближённо
вычислить
.
3.2.
Вычислить
с точностью до
.
Для раскрытия неопределенности вида
,
т.е. при вычислении
,
где
и
– бесконечно малые функции при
,
используют метод выделения главной
части функции при
.
С этой целью применяют разложения
функций
и
по формуле Тейлора в окрестности точки
с
остаточным членом в форме Пеано,
ограничиваясь только первыми членами,
отличными от нуля:
,
.
Тогда
Задачи
3.3.
Вычислить
.
3.4.
Вычислить
.
3.5.
Вычислить
.
3.6.
Вычислить
.
3.7.
Вычислить
.
3.8.
Вычислить
.
3.9.
Вычислить
.
3.10.
Вычислить
.
Домашнее задание 3
3.11.
Вычислить
.
3.12.
Вычислить
.
3.13.
Вычислить
.
3.14.
Вычислить
.
3.15.
Вычислить
.
3.16.
Вычислить
.
3.17.
С помощью формулы Тейлора приближённо
вычислить
.
3.18.
Вычислить
с точностью до
.
Тема 4. Задачи на экстремум
4.1.
Найдите найбольшее и найменьшее значения
функции
на отрезке
.
4.2.
Найдите наибольший член последовательности
.
4.3.
Доказать неравенство
.
4.4.
В шар радиуса
впишите правильную четырёхугольную
призму
наибольшего объёма.
4.5.
Найдите точку параболы
,
расстояние от которой до
точки
наименьшее.
4.6.
На плоскости прямолинейно движется
точка со скоростью
.
При
попадании её на ось
движение продолжается вдоль этой оси
со скоростью
.
Найдите наибыстрейший путь из точки
в точку
.
4.7.
На какой высоте над центром круглого
стола радиуса
следует
поместить электрическую
лампочку, чтобы освещаемость края
стола была наибольшей? ( П о д с к а з
к а: яркость
освещения
выражается формулой
,
где
– угол наклона лучей по
отношению
к плоскости;
– расстояние источника света от
освещаемой плоскости
– сила источника света.)
4.8.
Найдите нижнюю и верхнюю грани функции
на интервале
.
4.9.
Определите число корней уравнения
и отделите их.