1. Моделювання процесів формування оптимального асортименту

1.1.Загальна модель формування оптимального асортименту

Розглядається деякий виробничий об’єкт. Для виготовлення продукції об’єкт використовує матеріальні, трудові і сировинні ресурси, а також наявне обладнання. Вважається, що керуючий орган економічного об’єкту володіє інформацією про можливі об’єми надходжень ресурсів, величини економічних показників, нормах використання ресурсів і очікуваного прибутку від реалізації кожного виду продукції, що виготовляється. Задача полягає у побудові моделі формування оптимального асортименту продукції. Оптимальним асортиментом можна вважати набір продукції, який виробничий об’єкт здатен виготовити при наявних ресурсах та обладнанні і який дозволяє досягти екстремального значення деякого критерію. Таким критерієм, наприклад, може бути максимізація прибутку, або мінімізація затрат, або максимізація об’ємів продажу та ін.

Така математична модель може містити такі типи обмежень:

• на ресурси та виробничі потужності;

• на техніко-економічні показники;

• на попит.

Позначимо – об’єм випуску продукції -го виду. Тоді асортимент продукції, що виготовляється підприємством можна охарактеризувати за допомогою вектора , де – кількість видів продукції, яка може виготовлятися на заданому виробничому об’єкті. Очевидно, об’єм випуску не може бути від’ємним, тому природними є обмеження

.

Якщо кількість продукції вимірюється у неподільних одиницях (наприклад, кількість телевізорів, кількість деталей та ін.) то на величини додатково накладаються умови дискретності

.

Обмеження на ресурси та виробничі потужності. У найпростішому випадку обмеження на виробничі потужності можна описати за допомогою обмежень виду

,

де – номер продукту, ;

– номер ресурсу, ;

– кількість використовуваних ресурсів;

– норми витрат -го ресурсу на виготовлення одиниці -го продукту;

– наявна кількість ресурсу -го виду;

Обмеження на техніко-економічні показники. У найпростішому випадку обмеження на техніко-економічні показники можна записати за допомогою обмежень виду

,

де – порядковий номер економічного показника, ;

– кількість економічних показників, що враховуються при побудові моделі;

– величина -го показника, що є оцінкою -го продукту;

– величина -го показника, яка приймається для оцінки діяльності виробничого об’єкта.

Обмеження на попит. У найпростішому випадку обмеження на попит можна описати за допомогою обмежень типу

,

де – інтервал можливої зміни величини продукції -го виду.

У залежності від мети можуть використовуватися такі цільової функції

- максимізація прибутку

,

де – прибуток від реалізації одиниці продукції -го виду, ;

- мінімізації витрат на ресурси

,

де – вартість одиниці ресурсу -го виду, ;

та інші.

Приклад задач формування оптимального асортименту

Задача 1. Фірма з виготовлення іграшок виготовляє два види іграшок і . При виготовленні кожна з іграшок обробляється трьома різними машинами. Ці машини можуть обробляти тільки одну іграшку в кожен момент часу. Дані стосовно витрат часу для кожної з іграшок, та ресурс роботи машин за тиждень наведено в таблиці

	Тривалість обробки однієї іграшки на машинах (хв)		Ресурс роботи машин на тиждень
	Іграшка виду	Іграшка виду
Машина №1	40	20	40
Машина №2	20	30	50
Машина №3	10	30	40
Вартість однієї іграшки (грн)	24	35

Побудувати математичну модель для визначення того, скільки іграшок кожного з видів необхідно виготовляти кожного тижня для максимізації прибутку, при умові, що попит на іграшки перевищує пропозицію.

Розв’язання

Введемо позначення:

– кількість іграшок виду , що виготовлятиметься фірмою за тиждень;

– кількість іграшок виду , що виготовлятиметься фірмою за тиждень.

Природними є обмеження невід’ємності та цілочисловості значень змінних та

, (1.1)

. (1.2)

Якщо – кількість іграшок виду , що виготовляється за тиждень, то

– час роботи першої машини при обробці іграшок виду ,

– час роботи другої машини при обробці іграшок виду ,

– час роботи третьої машини при обробці іграшок виду ,

і, відповідно,

– час роботи першої машини при обробці іграшок виду ,

– час роботи другої машини при обробці іграшок виду ,

– час роботи третьої машини при обробці іграшок виду .

Звідси одержимо обмеження на загальний час роботи

першої машини:

, (1.3)

другої машини:

, (1.4)

третьої машини:

. (1.5)

Оскільки метою є максимізація прибутку то цільова функція матиме вигляд:

, (1.6)

де – прибуток від реалізації іграшок виду ;

– прибуток від реалізації іграшок виду .

Таким чином цільова функція (1.6) та обмеження (1.1)-(1.5) і є математичною моделлю для розв’язання даної задачі формування оптимального асортименту.

Задача 2. На заводі є можливість виготовлення деталей двох видів №1 і №2, які послідовно обробляться спочатку у механічному, а потім у термічному цехах. Механічний цех може виготовляти за зміну 600 деталей №1 або 1200 деталей №2. Виробнича потужність термічного цеху, куди ці деталі поступають на обробку в той же день, дозволяють обробляти за зміну 1200 деталей №1 або 800 деталей №2. Ціни на деталі однакові. Визначити щоденну виробничу програму виготовлення деталей, яка дозволяє максимізувати кількість виробленої продукції при кожному із додаткових обмежень:

а) обидва цехи працюють в одну зміну;

б) механічний цех працює три зміни, а термічний – дві зміни;

в) завод працює в дві зміни, при цьому деталей №1 необхідно виготовити не більше 800 шт., а деталей №2 – не більше 1000 шт.