Лабораторная работа №2

«ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДА РАСКРОЯ ЗАГОТОВКИ ИЗ ЛИСТА. МОДЕЛЬ ОПТИМАЛЬНОГО РАСКРОЯ»

2.1. Цель работы

Применение методов математического моделирования, для определения рациональных способов раскроя материалов.

Закрепление теоретического материала по теме: «Разделительная листовая штамповка».

2.2. Содержание работы

1. Изучение методов математического моделирования, применяемые для определения рациональных способов раскроя материалов.

2. Изучение технологии разделительной листовой штамповки.

3. Решение задачи математического моделирования при раскрое листового материала.

2.3. Теоретическая часть

Одним из важных направлений снижения потребления материала является внедрение методов рационального раскроя листов, полос, длинномерных заготовок в машиностроении, деревообрабатывающей, стекольной, текстильной промышленности.

В лабораторной работе ставится следующая задача.

Предприятие получает листы материала проката одного и того же размера. Из них нарезают заготовки различных видов, располагая шаблоны разными способами. При каждом способе раскроя из одного листа будет получаться определенное число заготовок разного вида.

Требуется указать, сколько листов материала следует раскроить каждым из возможных способов, чтобы получить необходимое (заданное) количество заготовок каждого вида и при этом израсходовать минимальное количество листов материала.

2.3.1. Математическая модель задачи

Обозначим через m число видов заготовок;

i – номер вида заготовки;

n – число способов раскроя;

j – номер способа раскроя;

a_ij – количество заготовок i – го вида, получаемых при разрезании одного листа материала j – м способом;

b_i – число заготовок i – го вида, которые необходимо разрезать.

Пусть X_j – число листов, разрезаемых способом j. Тогда (X₁, X₂,…,X_n) – искомый план раскроя.

В указанных обозначениях математическая модель задачи запишется в следующем виде:

(1)

(2)

(3)

Задача в форме (1) ÷ (3) интерпретируется так. Величина L (целевая функция) представляет собой суммарное количество по всем возможным способам раскроя, которое минимизируется.

Ограничение (2) (их число равно m, т.е. равно числу видов заготовок, которое необходимо получить) формулируют требование, чтобы заготовок каждого вида i было получено, при раскрое, не меньше требуемого количества b_i .

Ограничения (3) введены, для того, чтобы исключить получение положительных значений X_j, т.к. число листов, разрезаемых каждым способом, не может быть отрицательным.

Задача (1)…(3) представляет собой задачу линейного программирования и может быть решена на ЭВМ по стандартной программе.

Однако в этом случае не гарантируется получение целочисленных значений X_j, . Если полученное оптимальное значение L (общий расход листов) велико (L>>1), то полученные в результате решения задачи X_j округляются в большую сторону до ближайшего целого числа.

В противном случае (L≤10) задача (1)…(3) должна рассматриваться как задача, алгоритм решения которой на ЭВМ более сложный.

В ряде случаев возникает задача раскроя листов (стержней и т.п.) разного размера (в том числе немерных обрезков). В этом случае математическая модель задачи оптимального раскроя материалов несколько осложняется (формулы 4…7):

(4) (5…7)

где X_jl – искомое число листов размера l, раскраиваемых способом j,

j = 1, n_l; l = 1, k;

a_ijl – число заготовок i – го вида, получаемых из листа l – го размера, способом раскроя j;

b_i – число заготовок i – го вида, которое необходимо нарезать;

b_l – запас листов l – го размера;

n_l – число способов раскроя листа l – го размера;

m – число видов заготовок;

k – число видов листов, разного размера.