2.2. Динамическая модель межотраслевого баланса с непрерывным временем.

Описанная выше модель представляет собой пример дискретной рекуррентной динамической модели межотраслевого баланса. Ее непрерывный аналог был предложен В.Леонтьевым в начале 1950-х гг.¹⁵.

Модель имеет вид

, (2.4)

где - вектор-столбец объемов производства;

— вектор-столбец абсолютных приростов производства;

С(t) — вектор-столбец потребления (включая непроизводственное накопление и экспорт);

- матрица коэффициентов прямых материальных затрат (в отличие от коэффициентов статического межотраслевого баланса, коэффициенты в динамической модели включают также затраты на возмещение выбытия и капитальный ремонт основных производственных фондов); предполагается, что матрица А продуктивна;

- матрица коэффициентов капиталоемкости приростов производства (затраты производственного накопления на единицу прироста соответствующих видов продукции);

i, j=1, …,n.

По аналогии со статической моделью межотраслевого баланса можно утверждать, что:

и

,

следовательно, вместо (2.4) может исследоваться система дифференциальных уравнений (2.5):

, (2.5)

где B(Е — А)^-1 — матрица коэффициентов полной приростной капиталоемкости, т.е. полных затрат производственного накопления на единичные приросты элементов используемого национального дохода.

В соответствии с теорией дифференциальных уравнений, решение систем (2.4) и (2.5) проводится в три этапа: а) определяется общее решение однородной системы уравнений при С(t) = 0; б) находится частное решение неоднородной системы уравнений; в) из начальных условий рассчитываются неопределенные постоянные общего решения.¹⁶

Очевидно, что экономический смысл имеют только решения X(t)  0.

Предположим, что потребление отсутствует (С(t) = 0) и проанализируем систему однородных уравнений:

(2.6)

Решение этой системы характеризует предельные технологические возможности развития производства при заданных матрицах А и B, когда все ресурсы национального дохода направляются на расширенное воспроизводство и отсутствует непроизводственное потребление.

Исследование системы уравнений (2.6) позволяет сделать вывод, что для системы (2.6) не существует единой траектории с постоянным темпом прироста , одинаковым для всех компонент вектора Y(t). Развитие экономики в динамической модели межотраслевого баланса характеризуется семейством траекторий с неодинаковыми для различных отраслей темпами прироста . В то же время, в исследуемой динамической системе существует понятие технологического темпа прироста , при котором экономика развивается сбалансировано, т.е. темпы прироста отраслей одинаковы и равняются . Технологический темп прироста  в межотраслевой динамической модели является величиной, зависящей от коэффициентов полной приростной капиталоемкости.

Исследование модели показывает, что экономически приемлемыми из возможных траекторий являются только те, в которых темпы прироста продукции каждой отрасли при t  стремятся к технологическому темпу прироста . Иными словами, в долгосрочной перспективе экономическая система стремится к сбалансированному росту с технологическим темпом .¹⁷

Рисунок 2.1. Траектория замкнутой производственной системы.

Семейство траекторий, характеризующих динамику системы (2.6), изображено на рисунке 2.1. Траектория с постоянным технологическим темпом есть луч ОА. Конус ВОС есть множество состояний, в которых , т.е. имеет место экономический рост.

Траектория, выходящая из исходного состояния Y(0), быстро приближается к лучу OА. Отметим, что все прочие траектории (исходящие из любой начальной точки) также стремятся к лучу ОА. Войдя в конус BOC, траектория уже остается в нем. В теории дифференциальных уравнений семейство траекторий такого типа называют седлом.

Следует отметить, что с помощью динамической межотраслевой модели Леонтьева возможно анализировать не только динамику замкнутой производственной системы, но и экономический рост при различных траекториях потребления.

В этом случае мы вновь возвращаемся к системе неоднородных дифференциальных уравнений (2.5), в которых одним из слагаемых будет являться C(t), характеризующее траекторию потребления.

Если рассматривать траекторию потребления в виде C(t) = , где r - темп прироста потребления, то из решения системы уравнений (2.5)¹⁸ следует, что экономически приемлемые траектории национального дохода получаются при r < . С экономической точки зрения данный вывод означает, что развитие открытой системы с ненулевым вектором потребления всегда происходит с темпом, меньшим, чем темп роста замкнутой производственной системы. Устойчивый долгосрочный рост возможен только тогда, когда темп прироста потребления меньше технологического темпа прироста.

Следует помнить, что в модели (2.5) используется ряд упрощающих допущений, облегчающих решение системы дифференциальных уравнений и соответствующий теоретический анализ. Эти допущения снимаются в более сложных моделях, учитывающих износ фондов, резервы производственных мощностей, инвестиционные лаги, динамику коэффициентов материалоемкости и капиталоемкости производства и ряд других обстоятельств.¹⁹