1′ Отражённого световых лучей с учётом (10.56) и (10.55) имеют следующий вид:

Δ = l₂ - l₁ = (2hn₂/cosυ₂) - 2htqυ₂sinυ₁ - λ₀/2. (10.57)

По закону преломления Снеллиуса (9.104) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны", считая n₁ показатель преломления I среды, равный единице, получаем следующее выражение: sinυ₁/sinυ₂ = n₂ ↔ sinυ₂ = sinυ₁/n₂, (10.58) где n₂ - показатель преломления II среды.

Из тригонометрического тождества имеем следующее выражение: n₂cosυ₂ = (n₂² - n₂²sin²υ₂)^1/2. (10.59)

По закону преломления Снеллиуса (9.104) из раздела 09.0.0

"Электромагнитные волны", считая n₁ показатель преломления I среды, равный единице, получаем следующее выражение: sinυ₁/sinυ₂ = n₂ ↔ sinυ₂ = sinυ₁/n₂, (10.60) где n₂ - показатель преломления II среды.

Из тригонометрического тождества имеем следующее выражение:

n₂cosυ₂ = (n₂² - n₂²sin²υ₂)^1/2. (10.61)

Подставляем sinυ₂ из (10.60) в (10.61) и получаем следующее выражение, связывающее

(рис. 10.1.8) υ₂ угол преломления с υ₁ углом падения 2 и 1световых лучей:

n₂cosυ₂ = (n₂² - sin²υ₁)^1/2. (10.62)

Производим тождественные преобразования в (10.59) с учётом (10.60) и (10.62) и получаем следующее выражение, связывающее (рис. 10.1.0.8) Δ оптическую разность хода преломлённого и отражённого 2′ и 1′световых лучей с υ₁ углом падения 1 и 2 световых лучей, n₂ показателем преломления II среды и h толщиной тонкой пластины:

Δ = 2h[(n₂²/n₂cosυ₂) - (n₂sinυ₂sinυ₁/n₂cosυ₂)] - λ₀/2 =

= 2h[(n₂² - sin²υ₁)/(n₂² - sin²υ₁)^1/2] - λ₀/2 = 2h(n₂² - sin²υ₁)^1/2 - λ₀/2. (10.63) Ограничения, накладываемые (10.49) пространственно - временной когерентностью

1 И 2 световых (рис. 10.1.0.8) лучей, приводят к появлению интерференции этих лучей при

h толщине пластины менее нескольких сотых миллиметров. Условие возникновения интерференционных максимумов получается приравниванием выражения (10.63) оптической Δ разности хода между преломлённым и отражённом 2′ и 1′световыми лучами и выражения (10.33) интерференционного максимума у когерентных световых лучей с учётом только знака «+» перед этой Δ оптической разностью хода, т.к. 2 световой (рис. 10.1.0.8) луч проходит l₂ оптический путь, всегда превышающий оптический l₁ путь, пройденный 1световым лучом, вследствие чего получаем следующее условие возникновения интерференционных максимумов: 2h(n² - sin²υ₁)^1/2 - λ₀/2 = mλ₀ ↔ 2h(n² - sin²υ₁)^1/2= (m +1/2)λ₀, (10.64) где m = 0, 1, 2…

Условие возникновения интерференционных минимумов получается приравниванием выражения (10.63) оптической Δ разности хода между преломлённым и отражённом 2′ и 1′световыми лучами и выражения (10.34) интерференционного минимума у когерентных световых лучей с учётом только знака «+» перед этой Δ оптической разностью хода, т.к. 2 световой (рис. 10.1.0.8) луч проходит l₂ оптический путь, всегда превышающий оптический l₁ путь, пройденный 1световым лучом, вследствие чего получаем следующее условие возникновения интерференционных минимумов: 2h(n² - sin²υ₁)^1/2 - λ₀/2 = (m + 1/2)λ₀ ↔ 2h(n² - sin²υ₁)^1/2 = (m +1) λ₀, (10.65) где m = 0, 1, 2…

Интерференционная картина от световых волн равного наклона

Пластинку с n показателем преломления освещают рассеянным монохроматическим светом, в котором имеются световые лучи с λ₀ длиной волны в вакууме самых разнообразных направлений. Световые лучи (рис. 10.1.0.9), находящиеся в плоскости рисунка и падающие параллельным пучком на пластинку под υ₁ углом, после отражения от нижней и верхней её поверхностей, вследствие чего образуются когерентные параллельные световые лучи (10.59), соберутся по законам геометрической оптики в M₁ точке слева на

r₁ расстоянии от FF главной оптической

оси Л собирающей линзы в фокальной плоскости на Э экране, находящегося на

f расстоянии от этой Л собирающей линзы.

Световые лучи (рис. 10.1.0.9), находящиеся в плоскости рисунка и падающие параллельным пучком на пластинку под - υ₁ углом, после отражения от нижней и верхней её поверхностей, вследствие чего образуются когерентные параллельные световые лучи (10.59), соберутся по законам геометрической оптики в M₂ точке справа на r₁ расстоянии от FF главной оптической оси

Л собирающей линзы в фокальной плоскости на Э экране, находящегося на f расстоянии от этой

Л собирающей линзы.

Световые лучи, не находящиеся в плоскости рисунка и падающие параллельным пучком на пластинку под углом с модулём υ₁, после отражения от нижней и верхней её поверхностей, вследствие чего образуются когерентные параллельные световые лучи (10.59) соберутся по законам геометрической оптики в M₃, M₄,...точках слева и справа на r₁ расстоянии от FF главной оптической оси Л собирающей линзы в фокальной плоскости на Э экране, находящегося на f расстоянии от этой Л собирающей линзы.

Таким образом, если параллельные световые лучи, падающие на пластинку под углом с модулём υ₁, после отражения от нижней и верхней её поверхностей образуют когерентные параллельные световые лучи с Δ₁ оптической разностью хода, удовлетворяющего условию (10.33) интерференционного максимума, то на Э экране образуется светлое кольцо с r₁ радиусом. Параллельные световые лучи, падающие на пластинку под другим углом с модулём υ₂, после отражения от нижней и верхней её поверхностей образуют когерентные параллельные световые лучи с Δ₂ оптической разностью хода, удовлетворяющего условию (10.33) интерференционного максимума, вследствие чего на Э экране образуется другое светлое кольцо с r₂ радиусом. В результате на Э экране возникают чередующиеся светлые и тёмные интерференционные кольца с центром в F точке пересечения FF главной оптической собирающей Л линзы, r₁, r₂, …. радиусы которых соответствуют υ₁, υ₂, …. углам падения параллельных лучей, падающих на пластину. Эти чередующиеся светлые и тёмные кольца называют интерференционными кольцами равного наклона.

Интерференционная картина световых волн с кольцами равной толщины или кольцами Ньютона

При нормальном падении (рис. 10.1.0.10) монохроматического параллельного пучка световых лучей с λ₀ длиной световой волны в вакууме на Пл.1 прозрачную пластину Δ оптическая (10.40) разность хода между 1′ световым лучом, отражённым в A точке от нижней поверхности Л линзы, и 1′′световым лучом, отражённым от верхней поверхности Пл.2 прозрачной пластины, равна удвоенной b толщине зазора плюс λ₀/2 половина длины световой волны в вакууме, т.к. 1′′ луч отражается от верхней поверхности Пл.2 прозрачной пластины с n показателем преломления, оптически более плотной, чем среда в зазоре b длиной, поэтому эта Δ оптическая (10.40) разность хода между 1′ световым лучом, отражённым в A точке от нижней поверхности Л линзы, и 1′′световым лучом, отражённым от верхней поверхности Пл.2 прозрачной пластины, имеет следующий вид:

Δ = 2b + λ₀/2. (10.66)

Плоско - выпуклая (рис. 10.1.0.11) линза Л с R радиусом, которая применена на рис. 10.1.10, в A точке, где отражается 1′ световой луч, имеет r расстояние от OO′ главной оптической оси и малую

b << R величину удаления по вертикали A точки от (рис. 10.1.0.10) верхней поверхности Пл.2 прозрачной пластины.

Из прямоугольного (рис. 10.1.0.8) ABC треугольника в пренебрежении b²слагаемым по сравнению с R² имеем следующее выражение: R² = (R-b)² + r² ↔ b ≈ r²/2R.. (10.67)

Плоско - выпуклая (рис. 10.1.0.11) линза Л с R радиусом, которая применена на рис. 10.1.10, в

A точке, где отражается 1′ световой луч, имеет r расстояние от OO′ главной оптической оси и малую b << R величину удаления по вертикали A точки от (рис. 10.1.0.10) верхней поверхности Пл.2 прозрачной пластины.

Из прямоугольного (рис. 10.1.0.11) ABC треугольника в пренебрежении b²слагаемым по сравнению с R² имеем следующее выражение: R² = (R-b)² + r² ↔ b ≈ r²/2R . (10.68) Подставляем (10.67) в (10.68) и получаем следующее выражение, связывающее (рис. 10.1.0.10) Δ оптическую (10.40) разность хода между 1′ световым лучом, отражённым в A точке от нижней поверхности Л линзы, и 1′′световым лучом, отражённым от верхней поверхности Пл.2 прозрачной пластины, с r расстоянием от OO′ главной оптической оси: Δ = r²/R + λ₀/2. (10.69)

Условия интерференционных максимумов и минимумов определим из следующего выражения кратности Δ оптической (10.41) разности хода между 1′′ световым лучом, отражённым от верхней поверхности Пл.2 прозрачной пластины, и 1′ световым лучом, отражённым в A точке от нижней поверхности Л линзы, половине длины световой волны λ₀/2 в вакууме: Δ = r²/R + λ₀/2 = mλ₀/2. (10.70)

Нечётные m = 1, 3, 5, …..в (10.70) по аналогии с выражением (10.34) существования интерференционных минимумов у когерентных световых лучей соответствуют интерференционным тёмным кольцам Ньютона равной толщины (рис. 10.1.0.10) на Пл.1 прозрачной пластине, т.е. интерференционным минимумам, т.к. Δ оптическая (10.41) разность хода между 1′′ световым лучом, отражённым от верхней поверхности Пл.2 прозрачной пластины, и 1′ световым лучом, отражённым в A точке от нижней поверхности Л линзы, кратна нечётному количеству половине

λ₀/2 длин световых волн в вакууме.

Чётные m = 2, 4, 6, …..в (10.70) по аналогии с выражением (10.33) существования интерференционных максимумов у когерентных световых лучей соответствуют интерференционным светлым кольцам Ньютона равной толщины (рис. 10.1.0.10) на Пл.1 прозрачной пластине, т.е. интерференционным максимумам, т.к. Δ оптическая (10.41) разность хода между 1′′ световым лучом, отражённым от верхней поверхности Пл.2 прозрачной пластины, и 1′ световым лучом, отражённым в A точке от нижней поверхности Л линзы, кратна λ₀ длине световой волны в вакууме. Радиусы r_m интерференционных светлых колец, где m = 1, 3, 5, …, и r_m интерференционных тёмных колец, где m = 0, 2, 4, 6, … определяем из решения следующего выражения (10.70) относительно r_m радиуса этих интерференционных колец r_m = [Rλ₀m/2]^1/2. (10.71) Значению m = 0 соответствует в (10.71) r₁ = 0, т.е. тёмная точка на рис. 10.1.10 на Пл.1 прозрачной пластине, в том месте, где её пересекает OO′ главная оптическая ось Л линзы . Это происходит потому, что Δ оптическая (10.41) разность хода между 1′′ световым лучом, отражённым от верхней поверхности Пл.2 прозрачной пластины, и 1′ световым лучом, отражённым в A точке от нижней поверхности Л линзы, равна (10.70) половине длины световой волны λ₀/2 в вакууме, что соответствует интерференционному минимуму.

Применение интерференции световых волн: интерферометр Майкельсона

В интерферометре Майкельсона (рис. 10.1.0.12) пучок монохроматических световых лучей с λ₀ длиной световой волны в вакууме от S источника превращается Л линзой в параллельный пучок света. Первая часть 1 луча света попадает на Ппр.З полупрозрачное зеркало, частично отражается вверх, доходит до Пд. З подвижного зеркала, отражается и возвращается 1′ лучом на Э экран. Вторая часть 1 луча света проходит через полупрозрачное Ппр.З зеркало, отражается от

Нпд. З неподвижного зеркала и 1′′лучом частично отражается от Ппр.З полупрозрачного зеркала, поступает на Э экран Э, где складывается с1′ когерентным лучом. Оптическая Δ₁ разность хода между1′ световым лучом и 1′′ световым лучом имеет следующий вид: Δ₁ = 2(l₁′ - l₁′′), (10.72) где l₁′, l₁′′ - расстояния от места падения 1луча на Ппр.З полупрозрачное зеркало до соответственно Пд. З подвижного и Нпд. З неподвижного зеркал.

Если Δ₁ оптическая разность хода между 1′ световым лучом и 1′′ световым лучом по аналогии с выражением (10.33) существования интерференционных максимумов у когерентных световых лучей кратна λ₀ длине световой волны в вакууме, то на Э экране в месте сложения

1′ и 1′′ световых лучей будет интерференционный максимум, условием возникновения которого является следующее значение Δ₁ оптической разности хода между 1′ световым лучом и 1′′ световым лучом: Δ₁ = 2(l₁′ - l₁′′) = mλ₀, (10.73)

где m = 0, 1, 2, ……

Оптическая Δ₂ разность хода между 2′ и 2′′ световыми лучами имеет следующее значение: Δ₂ = 2(l₂′ - l₂′′), (10.74) где l₂′, l₂′′ - расстояния от места падения 2 луча на Ппр.З полупрозрачное зеркало до соответственно Пд. З подвижного и Нпд. З неподвижного зеркал. Если Δ₂ оптическая разность хода между 2′ световым лучом и 2′′световым лучом по аналогии с выражением (10.34) существования интерференционных минимумов у когерентных световых лучей кратна нечётному количеству λ₀/2 половин длин световых волн в вакууме, то на Э экране в месте сложения 2′ и 2′′ световых лучей

будет интерференционный минимум, условием возникновения которого является следующее значение Δ₂ оптической разности хода между 2′ световым лучом и 2′′световым лучом: Δ₂ = 2(l₂′ - l₂′′) = (m + 1/2) λ₀, (10.75) где m = 0, 1, 2, ……

Световые лучи 1′′, 2′′ дважды проходят через оптическую среду, на которой находится Ппр.З полупрозрачное зеркало, а 1′, 2′ световые лучи только один раз. Для уравнивания условия световых лучей 1′, 2′ и 1′′, 2′′ применяют Км.Пл компенсационную пластину.