7 Методы оценки случайной погрешности измерений
Существует несколько подходов оценки случайной погрешности:
1. Точечная
оценка - случай,
когда погрешность задается двумя
числами:
и
.
Их получают следующим образом: пусть
мы провели
измерений одного и того же значения
измеряемой величины:
,
для определения погрешности надо взять
истинное значение:
,
чем
выше, тем
ближе к
.
Зная
можно получить:
,
где
- центр рассеивания, а
.
Тогда:
- степень рассеяния
погрешности.
Интервальная оценка погрешности - оценка, при которой задаются 2 числа, доверительный интервал и доверительная вероятность. Эта оценка часто используется на практике.
Если:
Доверительный интервал:
Однако на практике
часто встречаются законы распределения,
у которых ветви уходят в
или
.
Для таких законов нельзя указать конечную
ширину доверительного интервала, в
которой с вероятностью равной единице
попадали все значения случайных
погрешностей, т.к. хотя бы с ничтожно
малой вероятностью возможно появление
бесконечно больших погрешностей. Поэтому
для случая нормальных законов произведены
расчеты и получено:
В общем случае для произвольного закона распределения:
8 Информационный подход к оценке погрешности измерения
В основе этого подхода лежит понятие энтропии сигнала (или сообщения) как меры его неопределенности.
Энтропия
непрерывного сигнала:
.
Для дискретной
случайной величины:
.
Если измерения
проводятся без погрешностей, то количество
информации, получаемое в результате
такого опыта:
,
где
- информация.
Если измерения проводятся с погрешностью, то количество информации равно:
,
где
- остаточная неопределенность результата,
вызванная погрешностью измерения. Пусть
погрешность подчинена равномерному
закону распределения:
Энтропия сигнала
с равномерным законом распределения:
и
.
Применительно для АЦП:
- верхний предел измерения АЦП,
- погрешность
квантования.
Пусть погрешность
подчинена произвольному закону
распределения. Приравняем формально
энтропию погрешности с произвольным
законом распределения к энтропии
погрешности с равномерным законом
распределения. Получим:
,
решим полученное выражение относительно
.
Найденное таким образом значение является энтропийным значением погрешности. Под энтропийным значением погрешности с произвольным законом распределения понимается такое значение погрешности с равномерным законом распределения, которое вносит в результат измерения точно такое же количество дезинформации, как и погрешность с заданным произвольным распределением.
Использование энтропийного значения позволяет заменить погрешность с произвольным законом, погрешностью с равномерным законом распределения. В этом случае можно говорить о конечном доверительном интервале.
Отношение
,
где
- среднеквадратическое отклонение,
получило название энтропийного
коэффициента
и зависит от вида распределения.
максимален при нормальном законе
распределения.
Нормальный закон распределения:
Экспоненциальный закон распределения:
Треугольный закон распределения:
Равномерный закон распределения:
Арккосинусоидальный закон распределения:
Распределения с
относятся к классу высокоэнтропийных
распределений. Их особенность состоит
в том, что при суммировании результирующее
распределение также относится к классу
высокоэнтропийных.
Лекция № 4 - 02.03.04