Лекція 7 Застосування теорії системи в тк. Аналітичне визначення системи

S Cx (1)

Системою називається відображення на не порожніх (абстрактних) множинах, де х - це символ прямого входу, – елемент системи з індексом і, I – множина індексів.

Множина являє собою деяку сукупність чогось.

Для скінченної множини елементів відображення (1) можна записати так:

S< (2)

Виходячи з (2) стає очевидним визначення системи, як множина елементів , що знаходиться у взаємодії один з одним.

Відкритими називаються системи, в яких m прямує до ∞, вони пов’язані із зовнішнім середовищем, вхідними і вихідними каналами. Замкнені системи таких каналів не мають.

Для відкритих систем, що мають входи з множиною х, які записуються так:

x=x

та виходи з множиною y, які можна записати так:

y=x

через входи надходять впливи, а через виходи спостерігаємо реакцію системи.

(3) S<x*y – більш конкретне визначення системи.

Систему (3) називають системою вхід (вихід) або «чорним ящиком».Дослідників цікавить реакція на виході такого «чорного ящика» на вплив, що надходять на його вхід.

Елементи системи , I можуть бути більш-менш однорідними, як наприклад вузли зв’язку або неодорідними змішаними – це елементи гібридних ТК систем, мережні елементи.

Ентропія – Н

Елементи системи можуть знаходитися в різній взаємозалежності. Якщо вони один від одного незалежні, то їх спільна невизначеність характеризується ентропією, що є сумою ентропій конктерного з елементів.

Загальними визначеннями системи з n- незалежних елементів записуємо так:

Якщо елементи і залежні, то:

=

– умовна ентропія

, тобто взаємна невизначеність залежних елементів є меншою порівняно з незалежними. Отже, і невизначеність цілісної системи із залежними елементами є меншою ніж з незалежною. Іншими словами, за наявності взаємозв’язку між елементами система стає більш організованою з більш упорядкованими відношеннями.

Розглянемо детальніше вираз (3), система у вигляді «чорного ящика». У багатьох випадках, структурні системи, наперед апріорій невідомо, або сама система є слабо структурованою. В такому випадку система S(t)представляється у вигляді дво-, чотири- або n-полюсника з відповідними входами x(t) і виходами y(t).

В цій системі S(t) вивчається впливи вхідних сигналів x(t) на вихідні y(t), тобто причинно-наслідкові зв’язки без конкретизації і внутрішньої структури.

При найпростішому поданні можна записати, що цей зв’язок може бути або лінійний: Y(t)= H(t)*x(t) або нелінійним: Y(t)= h(x, t), t),

де H(t) та h(x, t), t) носить назву передавальних функцій системи S(t).

Це скалярні моделі системи. Її узагальненням є векторна модель з n-входів та m-виходів. Найбільш поширеною є векторна модель з двома входами і двома виходами.

S(t)

Така модель носить назву модель чорного ящика з S матрицею. Подається вона так:

=

У векторному вигляді:

y = S(t)*x(t)

За допомогою S-матриці можна моделювати різноманітні системи об’єкти або явища, наприклад електрична схема, пристрій, канал зв’язку. В цьому випадку S-матриця носить назву матриці розсіювання, а вхідні x(t) та вихідні y(t) компоненти, розглядаються як ортогональні поляризовані складові електромагнітного поля. При цьому елементи характеризують коефіцієнти передавання по кросполяризаціії (вплив рівня сигналу, що передається з горизонтальною поляризацією на рівень вертикальної поляризації). Елементи матриці коефіцієнт передачі на відповідних поляризація одного напрямку і орієнтації.

Перекачка енергії між поляризаційними складовими дається елементами матриці ,

Система S називається статичною без інерційною тоді і тільки тоді, коли значення її вихідної величини Y(t) в будь-який момент часу залежить виключно від поточного значення вхідного впливу Y(t) і початкового стану , з якого почалася еволюція системи, при цьому , якщо змінюються вихідні впливу Y(t).

Коли не дорівнює 0, така система нечайно переходить у рівноважний стан. З використанням логічних операцій статична система визначається виразом:

( U, Y) S ] , ¥ tg(t)=

який інтерпретується наступним чином: система в якій визначенні значення входів та виходів U(t), тоді і тільки тоді буде статичною системою S,коли існує початковий стан , який належить до безлічі можливих початкових станів і для всіх моментів часу t вихідна реакція Y(t)визначається початковим станом і вхідним впливом U(t), які забезпечують відображення в цю вихідну реакцію y(t).

Оскільки статична система є без інерційною, у ній відсутні перехідні режими, при дії впливів, що збурюють цю систему на виході.

Статичну систему не слід плутати зі статичним рівноважним станом інерційної або динамічної системи, яка знаходиться в стані спокою, після перехідних процесів, швидкість яких = dx/d→0.

Статичні системи є певною абстракцією реальних систем, яким притаманні динамічні перехідні процеси.

Статичні системи є одночасно системи без пам’яті, тобто системи в яких початковий стан є ( )= ( ).

Динамічною називається інерційна, нестатична система, в якій визначені функції переходу станів (t) і вихідною реакцією y(t), за умови, що dx/d≠0.

Стаціонариним динамічним нахивається клас динамічних систем, стан і струкрута яких не залежить від того, в якій момент часу розглядатиметься виклик. Ці системи інваріантні щодо часового зсуву. Для будь-якого часового зсуву t справедлива рівність:

тобто, для кожного моменту часу можна визначити оператор зсуву , за якого реакція системи на вхідний вплив у момент часу залежить лише від різниці між часом його початку і поточним часом, не від поточного стану.

При цьому t≤ -t≥0

Для статичної системи: S<x*y, де S x, a y Y, якщо впливи і реакції є стаціонарними.

Важливою властивістю стаціонарних (інваріантних) у часі систем є те, що функцію переходу стану будь-якого моменту часу, можна одержати як результат застосування оператора зсуву до початкового оператора системи.