1.1.9 Разложение функции в ряд Фурье. Преобразование Фурье.

Одним из видов функциональных рядов является тригонометрический ряд

Ставится задача подобрать коэффициенты ряда так, чтобы он сходился к заданной в интервале функции; иначе говоря, требуется разложить данную функцию в тригонометрический ряд. Достаточное условие разрешимости этой задачи состоит в том, чтобы функция была в интервале кусочно-непрерывна и кусочно-дифференцируема, т. е. чтобы интервал мог быть разбит на конечное число частичных интервалов, в каждом из которых данная функция непрерывна и имеет производную (на концах частичных интервалов функция должна иметь конечные односторонние пределы и односторонние производные, при вычислении которых в качестве значения функции в конце частичного интервала берется ее односторонний предел). Условие кусочной дифференцируемости может быть заменено условием кусочной монотонности функции, т. е. требованием, чтобы в каждом из частичных интервалов функция была монотонна. Достаточным условием разложимости функции в интервале в тригонометрический ряд является также требование, чтобы в этом интервале функция имела ограниченное изменение. По определению функции имеет в интервале ограниченное изменение, если при любом разбиении этого интервала на конечное число интервалов величина ограничена сверху одним и тем же числом.

Именно с такими функциями приходится иметь дело при решении практических задач.

При выполнении любого из трех указанных достаточных условий функция представляется в интервале тригонометрическим рядом, у которого коэффициенты определяются по формулам:

При таких коэффициентах тригонометрический ряд называется рядом Фурье. Этот ряд сходится к в каждой точке ее непрерывности; в точках разрыва он сходится к среднему арифметическому левого и правого предельных значений, т. е. к , если есть точка разрыва (рис.); на границах отрезка ряд сходится к .

Преобразование Фурье — операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

Преобразование Фурье функции вещественной переменной является интегральным преобразованием и задается следующей формулой:

Отметим, что разные источники могут давать определения, отличающиеся от приведенного выбором коэффициента перед интегралом, а также знака «-» в показателе экспоненты. Все свойства в этом случае будут аналогичны, хотя вид каких-то формул может измениться.

В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды, то есть, обратимый переход от временного пространства (time domain) в частотное пространство (frequency domain).

1.1.10 Линейные физические системы. Их описание через интеграл свертки.

Метод интеграла Дюамеля, как и его вариант, интеграл свертки, способен описывать линейную систему в текущем времени и учитывать значение выходного сигнала в начальный момент времени. Метод нагляден, представляет выходной сигнал пределом суммы переходных функций, а значит, трактует поведение системы в любой момент времени как переходный режим, даже если она просто работает в установившемся режиме. При известном воздействии метод позволяет получать аналитическое решение в виде формулы. При численной реализации интеграл Дюамеля требует затрат значительно больших вычислительных мощностей по сравнению с методом дифференциального уравнения. Метод интеграла Дюамеля положен в основу описания очень полезных систем корреляционной обработки сигналов.

Интеграл Дюамеля позволяет определять реакцию системы на неизвестное или известное воздействие в текущем времени (в реальном, замедленном или ускоренном масштабе, в зависимости от мощности вычислительного инструмента и желания исследователя) по ее переходной функции :

(2.7)

Как видно, интеграл Дюамеля оперирует с сигналами, начавшимися в нулевой момент времени или позднее и может учитывать одно начальное условие (выходной сигнал в начальный момент времени), но не значения младших производных выходного сигнала в нулевой момент времени, которые предполагаются нулевыми.

Смысл интеграла Дюамеля иллюстрируется рисунками:

Рис. 2.4. Принцип определения выходного сигнала системы, заданной переходной функцией , с помощью интеграла Дюамеля. Первая ступенька, величина которой определяется начальным значением воздействия имеет конечную величину и дает конечный отклик в виде переходной функции . Сдвиг и величина остальных ступенек в интеграле Дюамеля устремляются к нулю, как и отклики системы на них. Но даже при грубом шаге, как видно на третьем кадре, приближенное решение довольно близко к точному.

Естественно, интеграл Дюамеля позволяет определять реакцию системы и на заранее известный сигнал и это можно сделать не только численно, но и аналитически.

Интеграл свертки можно рассматривать как вариант интеграла Дюамеля, в котором под интегралом проведено интегрирование по частям. Это позволяет выразить выходной сигнал системы через ее весовую функцию

(2.8) :

Смысл интеграла свертки состоит в том, что здесь входной сигнал представляется последовательностью плотно следующих друг за другом коротких импульсов, амплитуды (точнее, площади) которых равны значению сигнала в моменты их следования и длительность которых устремляется к нулю. При этом последовательность импульсов стремится к последовательности дельта-функций с площадями, равными площадям соответствующих импульсов. Реакция системы находится как сумма реакций на каждый импульс, составляющий входное воздействие, т.е. как взвешенная сумма сдвинутых весовых функций .

Рис.2.6. Иллюстрация интеграла свертки.Реакция апериодического звена на воздействие (линия кирпичного цвета), полученная как сумма (фиолетовая линия на нижней осциллограмме) его реакций (коричневые и голубые линии) на последовательность импульсов (синяя линия, показаны через один). Зеленые линии – точное решение, когда длительность импульсов устремляется к нулю. Как видно, даже при грубой дискретизации через 0.5 сек приближенное построение довольно хорошо аппроксимирует точное решение

Для наглядности, на рис. 2.6 длительность импульсов выбрана весьма большой, а постоянная времени апериодического звена малой, по сравнению с длительностью импульсов. При уменьшении длительности элементарных импульсов и увеличении постоянной времени звена в сумме в любой момент времени будет не два, а значительно большее число слагаемых, которые будут стремиться к весовым функциям звена:

Рис.2.7. Редкая выборка из импульсов, аппроксимирующих входное воздействие и реакция на них апериодического звена

Методы интегралов Дюамеля (2.7) и свертки (2.8) способны решать задачи в текущем времени потому, что текущим временем является верхний предел этих интегралов. Интегралы Дюамеля и свертки трактуют решение как сумму элементарных переходных процессов, а следовательно, как перманентный переходный процесс. Поэтому даже если система работает в установившемся режиме, интегралы Дюамеля и свертки формально рассматривают этот режим как переходный.