1.1.7 Общий подход к приближению функций. Интерполяция по Лагранжу. Метод Ньютона для разделенных разностей. Интерполяция сплайнами.

Пусть задана функция .

Пусть заданы точки из некоторой области .

Пусть значения функции известны только в этих точках.

Точки называют узлами интерполяции.

- шаг интерполяционной сетки.

Задача интерполяции состоит в поиске такой функции из заданного класса функций, что

Полином Лагранжа

Представим интерполяционную функцию в виде полинома:

, где - полиномы степени вида:

Очевидно, что принимает значение в точке и в остальных узлах интерполяции. Следовательно в точке исходный полином принимает значение .

Таким образом, построенный полином является интерполяционным полиномом для функции на сетке .

Полином Ньютона

Интерполяционный полином в форме Лагранжа не удобен для вычислений тем, что при увеличении числа узлов интерполяции приходится перестраивать весь полином заново.

Перепишем полином Лагранжа в другом виде:

= , где - полиномы Лагранжа степени .

Пусть . Этот полином имеет степень и обращается в нуль при .

Поэтому представим в виде:

, где - коэффициент при . Так как не входит в , то совпадает с коэффициентом при в полиноме . Таким образом из определения получаем:

, где

Перепишем формулу в виде:

Рекуррентно выражая получим окончательную формулу для полинома:

Такое представление полинома удобно для вычисления, потому что увеличение числа узлов на единицу требует добавления только одного слагаемого.

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона

Введем понятие разностного отношения. Разностным отношением нулевого порядка в точке назовем значение . Разностное отношение первого порядка определяется как:

А (n+1)-ого порядка - рекурсивно через разностное отношение n-ого порядка:

Тогда интерполяционный многочлен может быть записан в следующей форме:

Интерполяция сплайнами

Основной недостаток интерполяционных многочленов как аппарата приближения функций, применяемого для восстановления дискретизированных сигналов, состоит в том, что поведение этих многочленов в окрестности какой-либо точки определяет их поведение в целом. Если исследуемый сигнал на разных участках ведет себя по-разному, например на одном участке постоянен, а затем круто убывает или возрастает и т.д., использование интерполяционных многочленов хороших результатов не дает. В таких случаях лучше пользоваться сплайнами.

Основная идея применения сплайнов состоит в следующем. Интервал, на котором восстанавливают функцию, разбивают на подинтервалы, на каждом из которых функцию задают полиномом достаточно низкой степени и обеспечивают непрерывность кривой в точках “склейки” путем приравнивания значений полиномов на границах подинтервалов.

При этом важным условием является также непрерывность нескольких производных. Таким образом, сплайном называют совокупность многочленов степени , заданных на i-том шаге дискретизации и удовлетворяющих условию: , т.е. степени сплайн-функциями, составленными из «кусочков» многочленов данной степени, которые состыкованы так, чтобы получившаяся функция была непрерывной и имела несколько непрерывных производных.

Обычно используют кубические сплайны - полиномы третей степени.

Обозначим:

На каждом отрезке функция есть полином третьей степени , коэффициенты которого надо определить. Запишем для удобства в виде:

тогда

Условия непрерывности всех производных до второго порядка включительно записываются в виде

а условия интерполяции в виде

Коэффициэнты вычисляются из системы:

При переходе от интерполяции многочленами к интерполяции сплайнами преследуются две цели. Первая, это улучшение качества приближения: при одинаковых вычислительных затратах абсолютные погрешности интерполяции сплайнами меньше, чем погрешности интерполяции многочленами, а при одинаковых погрешностях уменьшается объем вычислений. Сплайны позволяют избежать осцилляций. Для решения задачи сходимости предъявляются более слабые требования, чем в случае многочленов. Например, интерполяция сплайнами невысоких степеней сходится даже для непрерывных функций.

Вторая цель – резкое уменьшение вычислительных затрат, поскольку при построении алгоритмов решения задач, так и при дальнейшей работе с аппроксимантами используются многочлены невысоких степеней или иные элементарные функции.