1.1.4 Линейные отображения и преобразования. Ортогональные (унитарные) и самосопряженные линейные преобразования. Свойства преобразований ( ). Сингулярное разложение матриц.

Линейным отображением векторного пространства над полем в векторное пространство (линейным оператором из в ) над тем же полем называется отображение , удовлетворяющее условию линейности для всех .

Операция в известной мере аналогична операции перехода от данного комплексного числа к сопряженному . Эта аналогия не случайна. Действительно, для матриц первого порядка над комплексным полем, т.е. для комплексных чисел, операция как раз и состоит в замене данного числа комплексно сопряженным.

Линейное преобразование называется самосопряженным (или эрмитовым), если .

В самом деле, эрмитовость формы означает, что . Самосопряженность преобразования означает, что , что эквивалентно предыдущему равенству.

Здесь и далее полагается, что — скалярное произведение.

Наглядно-геометрический смысл произвольного самосопряженного преобразования таков: в пространстве выделяется попарно ортогональных направлений (собственных направлений). Каждому из этих направлений ставится в соответствие действительное число (собственное значение). По каждому из этих направлений производится растяжение (сжатие) пространства в раз и, кроме того, зеркальное отражение в плоскости, ортогональной к данному направлению, если соответствующее отрицательно.

Параллельно с понятием самосопряженного преобразования вводится понятие эрмитовой матрицы. Матрица называется эрмитовой, если .

Ясно, что для того чтобы преобразование было самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в каком-нибудь ортогональном базисе была эрмитовой.

Линейное преобразование называется унитарным, если . Другими словами, для унитарного преобразования . В случае, когда преобразование, удовлетворяющее этому условию, задано в евклидовом пространстве, то оно называется ортогональным.

Свойства:

1. Если преобразование является ортонормированным, то скалярное произведение относительно этого преобразования является инвариантным. – скалярное произведение,

2. Евклидова норма: ;

3. Если – ортонормированное преобразование, то собственные значения такого преобразования равно единице.

Линейное преобразование называется нормальным, если . Нетрудно убедиться, что как самосопряженные, так и унитарные преобразования являются частными случаями нормальных преобразований.

Свойства преобразований ( ):

Пусть ,

1. 

2. Преобразования и неотрицательны.

3. – квадратичная форма, если она положительна, то и преобразование положительно.

4. 

Линейное преобразование называется нормальным, если . Нетрудно убедиться, что как самосопряженные, так и унитарные преобразования являются частными случаями нормальных преобразований.

Сингулярным разложением действительной матрицы размеров называется всякое ее разложение вида , где - ортогональная матрица размеров , - ортогональная матрица размеров , - диагональная матрица размеров , элементы которой , и . Величины называются сингулярными числами матрицы и равны арифметическим значениям квадратных корней из соответствующих собственных значений матрицы . В англоязычной литературе сингулярное разложение принято называть SVD-разложением.