1.1.3 Основные понятия и определения теории графов. Маршруты, циклы, связность. Виды графов и операции над графами. Орграфы и бинарные отношения. Деревья.

Граф - конечное множество вершин и соединяющих некоторые вершины ребёр; это совокупность объектов со связями между ними.

Петля - вершина, соединяющая некоторую вершину саму с собой.

Кратные рёбра - несколько рёбер, соединяющих одни и те же две вершины.

Псевдограф - граф, содержащий петли и кратные рёбра.

Мультиграф - граф, в котором нет петель, но есть кратные рёбра.

Ориентированное ребро (дуга) - ребро, в котором существенен порядок расположения концов.

Ориентированный граф (орграф) - граф, в котором все ребра ориентированны.

Изображение графа - геометрическая конфигурация, в которой вершины графа изображаются кружками, а рёбра - линиями.

Инцидентность - наличие соединения между вершиной и ребром (дугой).

Смежные рёбра (дуги) - имеющие общую вершину.

Смежные вершины - вершины, соединённые ребром (дугой).

Степень вершины - количество ребёр, инцидентных данной вершине.

Изолированная вершины - вершина, не инцидентная ни одному ребру графа (степень равна 0).

Концевая (висячая) вершина - вершина, степень которой равна 1.

Полустепень захода/исхода вершины - количество рёбер, инцидентных по входу/по выходу.

Изоморфные графы - графы, для которых существует такое взаимооднозначное соответствие между вершинами, только в том случае, если они соединены друг с другом. В орграфе направления дуг должны совпадать.

Дополнение графа G - граф, в котором две вершины смежны тогда и только тогда, когда они смежны в графе G. Если два графа изоморфны, то их дополнения тоже изоморфны.

Операция подразбиения ребра - удаление ребра, добавление к инцидентным удалённому ребру вершинам по одному новому ребру и добавление новой вершины, инцидентной этим двум рёбрам.

Граф G называется подразбиением графа H, если он может быть получен с помощью подразбиений рёбер графа H. Если подразбиения двух графов изоморфны, то сами графы гомеоморфны.

Полный граф - граф, две любые вершины которого смежные.

Полный ориентированный граф - орграф, в котором две любые вершины соединены парой дуг.

Пустой граф (нуль граф) - граф, не имеющий рёбер.

Тривиальный граф - граф, состоящий из одной вершины и не имеющий ребер.

Двудольный граф - граф, множество вершин которого можно разбить на два непустых подмножества таким образом, что никакие две вершины из одной доли не являются смежными.

Полный двудольный граф - двудольных граф, в котором каждая вершина из одного подмножества связана с каждой вершиной из другого подмножества.

Однородный (регулярный) граф степени d - граф, в котором все вершины имеют одну степень d.

Паросочетаемый граф - регулярный граф степени 1.

Кубический граф - регулярный граф степени 3.

Обратный ориентированный граф - граф, полученный из исходного орграфа изменением направления каждой дуги на противоположное.

Подграф - граф, содержащий некоторые вершины исходного графа и все рёбра, кроме тех, которые инциденты вершинам исходного графа, не вошедшим в подграф.

Маршрут (для орграфа - путь) - последовательность вершин (дуг), в которой чередуются вершины и рёбра, причём каждое ребро связывает две соседние вершины.

Длина маршрута (пути) - число рёбер (дуг).

Замкнутый маршрут - маршрут, в котором начальная и конечная вершины совпадают.

Простая цепь - незамкнутый маршрут, в котором все рёбра попарно различны.

Цикл - замкнутый маршрут, в котором все рёбра попарно различны.

Контур - цикл в орграфе.

Простой цикл (простой контур) - цикл (контур), в котором все вершины попарно различны.

Вершина A достижима из вершины В - если в орграфе существует путь от А к В.

Сильно связный орграф - орграф, в котором для любой пары вершин (а, b) существует как путь как из а в b, так и из b в а.

Сильно связная компонента орграфа - любой сильно связный подграф, который в свою очередь не является подграфом никакого другого сильно связного подграфа исходного графа.

Разделяющая вершина (точка сочленения) - вершина графа, удаление которой из графа вместе с инцидентными ей рёбрами увеличивает число компонент связности.

Конденсация графа - представление исходного графа в виде конденсированного, в котором каждая вершина соответствует сильно связной компоненте исходного графа.

Ориентированное дерево - ацикличный орграф, в котором только одна вершина имеет нулевую полустепень захода, а все остальные вершины имеют полустепень захода, равную 1.

Корень дерева - вершина с нулевой полустепенью захода.

Концевые вершины (листья) - вершины с нулевыми полустепенями исхода.

Двоичное дерево - ориентированное дерево, в котором каждая вершина имеет полустепень исхода либо 2, либо 0.