
- •1. Обработка геопространственных данных
- •1.1 Дискретная математика и анализ данных
- •1.1.1 Множества, подмножества и операции над ними. Логические переменные и операции над ними. Описание операций над множествами с помощью логических операций.
- •1.1.2 Отношения на множествах. Основные понятия и определения. Однородные отношения. Отношения эквивалентности и порядка. Отношения на базах данных. Замыкание отношения.
- •1.1.3 Основные понятия и определения теории графов. Маршруты, циклы, связность. Виды графов и операции над графами. Орграфы и бинарные отношения. Деревья.
- •1.1.4 Линейные отображения и преобразования. Ортогональные (унитарные) и самосопряженные линейные преобразования. Свойства преобразований ( ). Сингулярное разложение матриц.
- •1.1.5 Модели измерений. Фундаментальная система измерений и их решения. Анализ ошибок измерений.
- •1.1.6 Операторные уравнения. Нахождение псевдорешения. Обусловленность слау.
- •1.1.7 Общий подход к приближению функций. Интерполяция по Лагранжу. Метод Ньютона для разделенных разностей. Интерполяция сплайнами.
- •1.1.8 Аппроксимация функций по методу наименьших квадратов.
- •1.1.9 Разложение функции в ряд Фурье. Преобразование Фурье.
- •1.1.10 Линейные физические системы. Их описание через интеграл свертки.
- •1.1.11 Основы математической статистики. Оценка математического ожидания, дисперсии, коэффициента корреляции.
- •1.1.12 Случайные процессы и их описания.
- •1.1.13 Стационарные и эргодические случайные процессы и их характеристики.
- •1.2 Дистанционное зондирование Земли
- •1.2.1 Разрешающая способность аэрофотоизображений. Функция передачи изображения аэрофотоснимка.
- •1.2.2 Радоилокационные методы и системы дзз.
- •1.2.3 Сканерные методы съёмки местности. Сканерные съёмочные системы ипрз.
- •1.3 Геоинформационые системы
- •1.3.1 Геоинформационная система. Определение термина.
- •1.3.2 Аппаратные средства гис.
- •2. Современные методы и технологии защиты информации
- •2.1 Криптографическая защита информации
- •2.1.1 Основные понятия и определения криптографии. Классификация криптографических систем, примеры.
- •Симметричные:
- •Асимметричные:
- •2.1.2 Симметричные криптосистемы. Пример применения симметричных криптосистем. Примеры симметричных алгоритмов шифрования.
- •4. Блочные шифры.
- •2.1.3 Ассиметричные криптосистемы. Применение ассиметричных криптосистем. Примеры ассиметричных алгоритмов шифрования.
- •2.1.4 Криптографические протоколы. Основные понятия. Примеры криптографических протоколов.
- •2.1.5 Области применения криптографических методов защиты информации.
- •2.2 Защита информационных процессов в компьютерных системах
- •2.2.1 Определение компьютерных систем. Предмет и объект защиты. Понятие информации. Ценность информации.
- •2.2.2 Угрозы безопасности информации в компьютерных системах. Каналы утечки информации. Случайные и преднамеренные угрозы. Методы противодействия.
- •2.2.3 Угрозы компьютерным сетям. Способы противодействия и выявление атак. Построение надёжных вычислительных сетей.
- •2.2.4 Угрозы программному обеспечению. Защита по. Методы исследования по. Противодействие взлому программного обеспечения.
- •2.3 Теория информационной безопасности и методы защиты нформации
- •2.3.1 Современная концепция информационной безопасности.
- •2.3.2 Классификация конфиденциальной информации по видам тайны и степени конфиденциальности.
- •2.3.3 Источники виды и методы дестабилизирующего воздействия на защищаемую информацию.
- •2.3.4 Классификация и общие характеристики научных методов обработки данных в области информационной безопасности.
- •2.3.5 Уязвимость информации, анализ и управление рисками при организации информационной безопасности.
- •2.3.6 Базовые стандарты обеспечения информационной безопасности.
- •2.3.7 Методологические основы построения систем защиты информации
- •2.3.8 Оценка надёжности безопасности информационных систем и ресурсов.
- •2.4 Правовая защита информации.
- •2.4.1 Назначение и структура правового обеспечения защиты информацию
- •2.4.2 Правовые основы деятельности подразделений защиты информации
- •2.4.3 Основные законодательные акты, правовые нормы и положения.
- •2.4.4 Правовое регулирование взаимоотношений администрации и персонала в области защиты информации.
- •2.4.5 Правовые проблемы с защитой прав обладателей собственности на информацию и распоряжением информацией.
- •Глава 3. Пользование информационными ресурсами
- •2.5 Организационная защита информации
- •2.5.1 Принципы, силы и средства организационной защиты информации.
- •2.5.2 Организация подготовки и проведения совещаний и заседаний по конфидециальным вопросам.
- •2.5.3 Организация аналитической работы по предупреждению утечки конфиденциальной информации.
- •2.5.4 Направления и методы работы с персоналом, обладающим конфиденциальной информацией.
- •2.6 Защита и обработка конфиденциальных документов
- •2.6.1 Организация процесса подготовки и издания конфиденциальных документов.
- •2.6.2 Организация защищенного документооборота. Порядок рассмотрения и исполнения конфиденциальных документов.
- •2.6.3 Проверки наличия конфиденциальных документов.
- •2.6.4 Порядок подготовки к передаче и передача конфиденциальных документов в ведомственный архив.
- •2.6.5 Организация учета конфиденциальных документов.
- •2.6.6 Организация конфиденциального делопроизводства. Система доступа к конфиденциальным документам.
- •2.6.7 Классификация и систематизация конфиденциальных документов
- •2.7 Инженерно-техническая защита информации
- •2.7.1 Виды информации, демаскирующие признаки объектов защиты, источники и носители информации, защищаемой техническими средствами.
- •2.7.2 Классификация и структура технических каналов утечки информации; основные способы и принципы работы средств наблюдения объектов.
- •2.7.3 Системный подход к инженерно-технической защите информации.
- •2.7.4 Принципы моделирования объектов защиты и технических каналов утечки информации.
- •2.7.5 Способы и принципы работы средств защиты информации от наблюдения, подслушивания и перехвата.
- •2.8 Программно-аппаратная защита информации
- •2.8.1 Программные и аппаратные средства защиты информации.
- •2.8.2 Системы обнаружения атак. Особенности сетевых систем обнаружения атак.
- •2.8.3 Системы обнаружения атак. Особенности систем обнаружения атак на уровне узла.
- •2.8.4 Электронная цифровая подпись (эцп)
- •2.8.5 Вредоносный код. Защита от вредоносного кода.
- •2.8.6 Компьютерные вирусы как особый класс разрушающих программных воздействий (рпв). Классификация и методы противодействия.
- •2.8.7 Методы и средства ограничения доступа к компонентам эвм.
- •2.9 Комплексная система защита информации на предприятии
- •2.9.1 Комплексная система обеспечения иб.
- •2.9.2 Комплексная защита безопасности компьютерных систем обработки данных.
- •2.9.3 Корпоративные и интегральные методы и средства ксзи.
- •2.9.4 Аудит и проектирование ксзи.
- •2.9.5 Организация ксзи на предприятии.
- •2.9.6 Интеллектуализация ксзи.
- •2.9.7 Оценка надёжности безопасности ксзи.
- •2.9.8 Планирование бюджета на ксзи.
- •2.10 История и современная система защиты информации в России
- •2.10.1 Формирование системы защиты информации в ссср в 20-е гг.
- •2.10.2 Правовые основы защиты информации в Российской империи в XIX в.
- •2.10.3 Совершенствование системы защиты информации в ссср в 50-60 - е гг.
- •2.10.4 Организация защиты коммерческой тайны в Российской империи в XIX в.
- •2.10.5 Совершенствование системы защиты информации в ссср в 70 – 80 е гг.
- •2.10.6 Реорганизации органов защиты информации в рф в современных условиях, их причины и значение.
- •2.10.7 Современная система органов защиты информации.
- •2.10.8 Совершенствование законодательства по вопросам предупреждения шпионажа и разглашения государственной тайны в Российской империи в XX в.
- •2.11 Системы защиты информации в ведущих зарубежных странах
- •2.11.1 Организация системы защиты информации в Великобритании.
- •2.11.2 Организация системы защиты информации в Германии и Франции.
- •Раздел 2 особенной части Уголовного кодекса фрг “измена Родине и угроза внешней безопасности“ включает две группы составов преступлений:
- •2.12 Организация и управление службой защиты информации
- •2.12.1 Место и роль службы защиты информации в системе защиты информации.
- •2.12.2 Организационные основы и принципы деятельности службы.
- •2.12.3 Принципы, методы и технология управления службой.
- •3. Экология и бжд
- •3.1. Экология
- •3.1.1 Биосфера и её основные характеристики.
- •3.1.2 Живое вещество планеты, его свойства.
- •3.1.3 Основы учения в.И. Вернадского о ноосфере.
- •3.1.4 Принципы функционирования экосистем, их значение для поддержания динамического равновесия.
- •3.1.5 Сущность и содержание «парникового эффекта».
- •3.1.6 Киотский протокол, перспективы его реализации.
- •3.1.7 Кислотные дожди и их воздействие на окружающую среду.
- •3.1.8 Разрушение озонового слоя, образование «озоновых дыр».
- •3.2 Безопасность жизнедеятельности
- •3.2.1 Опасные и вредные факторы окружающей среды, их взаимосвязь и взаимообусловленность.
- •3.2.2 Чрезвычайные ситуации природного и техногенного характера, их классификация.
- •3.2.3 Основные положения федерального закона «о защите населения и территорий от чрезвычайных ситуаций природного и техногенного характера».
- •Глава I. Общие положения
- •Глава II. Полномочия органов государственной власти рф, органов государственной власти субъектов рф и омсу в области защиты населения и территорий от чс
- •Глава III. Государственное управление в области защиты населения и территорий от чс
- •Глава IV. Права и обязанности граждан рф в области защиты населения и территорий от чс и социальная защита пострадавших
- •Глава V. Подготовка населения в области защиты от чс
- •Глава VI. Порядок финансового и материального обеспечения мероприятий по защите населения и территорий от чс
- •Глава VII. Государственная экспертиза, надзор и контроль в области защиты населения и территорий от чс
- •Глава VIII. Международные договоры рф в области защиты населения и территорий от чс
- •Глава IX. Заключительные положения
- •3.2.4 Система подготовки населения рф к защите от чс.
- •4 Экономика
- •4.1 Экономика и организация производства
- •4.1.1 Понятие организации, ее жизненный цикл, общие характеристики.
- •4.1.2 Старая и новая системы взглядов на управление.
- •4.1.3 Менеджер как основная фигура менеджмента. Концепции лидерства, роли и стили руководителей.
- •4.1.4 Основные функции менеджмента (организация, планирование, организация персонала).
- •4.1.5 Основные элементы внешней и внутренней среды.
- •4.1.6 Цели и задачи в системе современного менеджмента (миссия организации, понятие «цели» и понятие «задачи», «дерево цели»).
- •4.1.7 Организационные структуры органов управления фирмой (линейная, линейно-штабная, функциональная, матричная, дивизиональная).
- •4.1.8 Новые организационные формы в структуре экономики России (группы, союзы, корпорации).
- •4.1.9 Организационно-правовые формы юридических лиц.
- •4.1.10 Микро и макроэкономика. Предприятие и фирма.
- •4.1.11 Акционерные общества и объединения предприятий.
- •4.1.12 Активы предприятия (материальные и нематериальные). Финансовые отношения предприятия.
- •4.1.13 Определение основных и оборотных фондов, основные показатели уровня использования основных фондов.
- •4.1.14 Экономико-математические методы (основные понятия, определение, классификация).
- •4.1.15 Издержки условно-постоянные и условно-переменные.
- •4.1.16 Себестоимость (понятие, структура). Основные и накладные расходы. Затраты прямые и косвенные.
- •4.1.17 Ценообразование, функции и виды цен.
- •4.1.18 Прибыль и рентабельность. Процесс получения чистой прибыли.
- •4.1.19 Налоги, сборы, акцизы, пошлины.
- •4.1.20 Понятие износа основных фондов. Задача амортизации. Методы расчета амортизации.
- •4.1.21 Основные аспекты космической деятельности и международные организации по космосу.
- •4.1.22 Специфика космических исследований и их текущее состояние.
- •4.1.23 Структура Росавиакосмоса. Роль ран в организации космической деятельности.
- •4.1.24 Ракета-носители России. Космодромы России и мира.
- •4.1.25 Задачи и обобщенные структуры командно-измерительного комплекса, центра управления полетом, командно-измерительного пункта.
- •4.1.26 Организация космической деятельности в сша.
- •4.1.27 Основополагающие документы по космическому праву.
Оглавление
1. Обработка геопространственных данных 4
1.1 Дискретная математика и анализ данных 4
1.1.1 Множества, подмножества и операции над ними. Логические переменные и операции над ними. Описание операций над множествами с помощью логических операций. 4
1.1.2 Отношения на множествах. Основные понятия и определения. Однородные отношения. Отношения эквивалентности и порядка. Отношения на базах данных. Замыкание отношения. 5
1.1.3 Основные понятия и определения теории графов. Маршруты, циклы, связность. Виды графов и операции над графами. Орграфы и бинарные отношения. Деревья. 5
1.1.4 Линейные отображения и преобразования. Ортогональные (унитарные) и самосопряженные линейные преобразования. Свойства преобразований (). Сингулярное разложение матриц. 6
1.1.5 Модели измерений. Фундаментальная система измерений и их решения. Анализ ошибок измерений. 6
1.1.6 Операторные уравнения. Нахождение псевдорешения. Обусловленность СЛАУ. 7
1.1.7 Общий подход к приближению функций. Интерполяция по Лагранжу. Метод Ньютона для разделенных разностей. Интерполяция сплайнами. 7
1.1.8 Аппроксимация функций по методу наименьших квадратов. 9
1.1.9 Разложение функции в ряд Фурье. Преобразование Фурье. 10
1.1.10 Линейные физические системы. Их описание через интеграл свертки. 11
1.1.11 Основы математической статистики. Оценка математического ожидания, дисперсии, коэффициента корреляции. 12
1.1.12 Случайные процессы и их описания. 13
1.1.13 Стационарные и эргодические случайные процессы и их характеристики. 14
1.2 Дистанционное зондирование Земли 14
1.2.1 Разрешающая способность аэрофотоизображений. Функция передачи изображения аэрофотоснимка. 14
1.2.2 Радоилокационные методы и системы ДЗЗ. 15
1.2.3 Сканерные методы съёмки местности. Сканерные съёмочные системы ИПРЗ. 15
1.3 Геоинформационые системы 16
1.3.1 Геоинформационная система. Определение термина. 16
1.3.2 Аппаратные средства ГИС. 16
1.3.3 ГИС-оболочка. Виды прикладного базового ПО, используемого в ГИС. 16
2. Современные методы и технологии защиты информации 17
2.1 Криптографическая защита информации 17
2.1.1 Основные понятия и определения криптографии. Классификация криптографических систем, примеры. 17
2.1.2 Симметричные криптосистемы. Пример применения симметричных криптосистем. Примеры симметричных алгоритмов шифрования. 18
2.1.3 Ассиметричные криптосистемы. Применение ассиметричных криптосистем. Примеры ассиметричных алгоритмов шифрования. 19
2.1.4 Криптографические протоколы. Основные понятия. Примеры криптографических протоколов. 20
2.1.5 Области применения криптографических методов защиты информации. 20
2.2 Защита информационных процессов в компьютерных системах 21
2.2.1 Определение компьютерных систем. Предмет и объект защиты. Понятие информации. Ценность информации. 21
2.2.2 Угрозы безопасности информации в компьютерных системах. Каналы утечки информации. Случайные и преднамеренные угрозы. Методы противодействия. 21
2.2.3 Угрозы компьютерным сетям. Способы противодействия и выявление атак. Построение надёжных вычислительных сетей. 22
2.2.4 Угрозы программному обеспечению. Защита ПО. Методы исследования ПО. Противодействие взлому программного обеспечения. 24
2.3 Теория информационной безопасности и методы защиты нформации 27
2.3.1 Современная концепция информационной безопасности. 27
2.3.2 Классификация конфиденциальной информации по видам тайны и степени конфиденциальности. 29
2.3.3 Источники виды и методы дестабилизирующего воздействия на защищаемую информацию. 30
2.3.4 Классификация и общие характеристики научных методов обработки данных в области информационной безопасности. 31
2.3.5 Уязвимость информации, анализ и управление рисками при организации информационной безопасности. 32
2.3.6 Базовые стандарты обеспечения информационной безопасности. 34
2.3.7 Методологические основы построения систем защиты информации 35
2.3.8 Оценка надёжности безопасности информационных систем и ресурсов. 38
2.4 Правовая защита информации. 39
2.4.1 Назначение и структура правового обеспечения защиты информацию 39
2.4.2 Правовые основы деятельности подразделений защиты информации 40
2.4.3 Основные законодательные акты, правовые нормы и положения. 40
2.4.4 Правовое регулирование взаимоотношений администрации и персонала в области защиты информации. 42
2.4.5 Правовые проблемы с защитой прав обладателей собственности на информацию и распоряжением информацией. 42
2.5 Организационная защита информации 43
2.5.1 Принципы, силы и средства организационной защиты информации. 43
2.5.2 Организация подготовки и проведения совещаний и заседаний по конфидециальным вопросам. 43
2.5.3 Организация аналитической работы по предупреждению утечки конфиденциальной информации. 44
2.5.4 Направления и методы работы с персоналом, обладающим конфиденциальной информацией. 45
2.6 Защита и обработка конфиденциальных документов 46
2.6.1 Организация процесса подготовки и издания конфиденциальных документов. 46
2.6.2 Организация защищенного документооборота. Порядок рассмотрения и исполнения конфиденциальных документов. 48
2.6.3 Проверки наличия конфиденциальных документов. 49
2.6.4 Порядок подготовки к передаче и передача конфиденциальных документов в ведомственный архив. 49
2.6.5 Организация учета конфиденциальных документов. 50
2.6.6 Организация конфиденциального делопроизводства. Система доступа к конфиденциальным документам. 51
2.6.7 Классификация и систематизация конфиденциальных документов 52
2.7 Инженерно-техническая защита информации 52
2.7.1 Виды информации, демаскирующие признаки объектов защиты, источники и носители информации, защищаемой техническими средствами. 52
2.7.2 Классификация и структура технических каналов утечки информации; основные способы и принципы работы средств наблюдения объектов. 54
2.7.3 Системный подход к инженерно-технической защите информации. 54
2.7.4 Принципы моделирования объектов защиты и технических каналов утечки информации. 55
2.7.5 Способы и принципы работы средств защиты информации от наблюдения, подслушивания и перехвата. 56
2.8 Программно-аппаратная защита информации 56
2.8.1 Программные и аппаратные средства защиты информации. 56
2.8.2 Системы обнаружения атак. Особенности сетевых систем обнаружения атак. 57
2.8.3 Системы обнаружения атак. Особенности систем обнаружения атак на уровне узла. 58
2.8.4 Электронная цифровая подпись (ЭЦП) 58
2.8.5 Вредоносный код. Защита от вредоносного кода. 59
2.8.6 Компьютерные вирусы как особый класс разрушающих программных воздействий (РПВ). Классификация и методы противодействия. 59
2.8.7 Методы и средства ограничения доступа к компонентам ЭВМ. 60
2.9 Комплексная система защита информации на предприятии 61
2.9.1 Комплексная система обеспечения ИБ. 61
2.9.2 Комплексная защита безопасности компьютерных систем обработки данных. 62
2.9.3 Корпоративные и интегральные методы и средства КСЗИ. 63
2.9.4 Аудит и проектирование КСЗИ. 63
2.9.5 Организация КСЗИ на предприятии. 64
2.9.6 Интеллектуализация КСЗИ. 65
2.9.7 Оценка надёжности безопасности КСЗИ. 65
2.9.8 Планирование бюджета на КСЗИ. 67
2.10 История и современная система защиты информации в России 67
2.10.1 Формирование системы защиты информации в СССР в 20-е гг. 67
2.10.2 Правовые основы защиты информации в Российской империи в XIX в. 69
2.10.3 Совершенствование системы защиты информации в СССР в 50-60 - е гг. 70
2.10.4 Организация защиты коммерческой тайны в Российской империи в XIX в. 72
2.10.5 Совершенствование системы защиты информации в СССР в 70 – 80 е гг. 72
2.10.6 Реорганизации органов защиты информации в РФ в современных условиях, их причины и значение. 73
2.10.7 Современная система органов защиты информации. 75
2.10.8 Совершенствование законодательства по вопросам предупреждения шпионажа и разглашения государственной тайны в Российской империи в XX в. 77
2.11 Системы защиты информации в ведущих зарубежных странах 79
2.11.1 Организация системы защиты информации в Великобритании. 79
2.11.2 Организация системы защиты информации в Германии и Франции. 82
2.12 Организация и управление службой защиты информации 87
2.12.1 Место и роль службы защиты информации в системе защиты информации. 87
2.12.2 Организационные основы и принципы деятельности службы. 88
2.12.3 Принципы, методы и технология управления службой. 89
3. Экология и БЖД 89
3.1. Экология 89
3.1.1 Биосфера и её основные характеристики. 89
3.1.2 Живое вещество планеты, его свойства. 90
3.1.3 Основы учения В.И. Вернадского о ноосфере. 90
3.1.4 Принципы функционирования экосистем, их значение для поддержания динамического равновесия. 90
3.1.5 Сущность и содержание «парникового эффекта». 90
3.1.6 Киотский протокол, перспективы его реализации. 91
3.1.7 Кислотные дожди и их воздействие на окружающую среду. 91
3.1.8 Разрушение озонового слоя, образование «озоновых дыр». 91
3.2 Безопасность жизнедеятельности 92
3.2.1 Опасные и вредные факторы окружающей среды, их взаимосвязь и взаимообусловленность. 92
3.2.2 Чрезвычайные ситуации природного и техногенного характера, их классификация. 92
3.2.3 Основные положения федерального закона «О защите населения и территорий от чрезвычайных ситуаций природного и техногенного характера». 92
3.2.4 Система подготовки населения РФ к защите от ЧС. 95
4 Экономика 95
4.1 Экономика и организация производства 95
4.1.1 Понятие организации, ее жизненный цикл, общие характеристики. 95
4.1.2 Старая и новая системы взглядов на управление. 95
4.1.3 Менеджер как основная фигура менеджмента. Концепции лидерства, роли и стили руководителей. 96
4.1.4 Основные функции менеджмента (организация, планирование, организация персонала). 96
4.1.5 Основные элементы внешней и внутренней среды. 97
4.1.6 Цели и задачи в системе современного менеджмента (миссия организации, понятие «цели» и понятие «задачи», «дерево цели»). 97
4.1.7 Организационные структуры органов управления фирмой (линейная, линейно-штабная, функциональная, матричная, дивизиональная). 97
4.1.8 Новые организационные формы в структуре экономики России (группы, союзы, корпорации). 99
4.1.9 Организационно-правовые формы юридических лиц. 99
4.1.10 Микро и макроэкономика. Предприятие и фирма. 99
4.1.11 Акционерные общества и объединения предприятий. 100
4.1.12 Активы предприятия (материальные и нематериальные). Финансовые отношения предприятия. 101
4.1.13 Определение основных и оборотных фондов, основные показатели уровня использования основных фондов. 101
4.1.14 Экономико-математические методы (основные понятия, определение, классификация). 101
4.1.15 Издержки условно-постоянные и условно-переменные. 102
4.1.16 Себестоимость (понятие, структура). Основные и накладные расходы. Затраты прямые и косвенные. 102
4.1.17 Ценообразование, функции и виды цен. 103
4.1.18 Прибыль и рентабельность. Процесс получения чистой прибыли. 103
4.1.19 Налоги, сборы, акцизы, пошлины. 103
4.1.20 Понятие износа основных фондов. Задача амортизации. Методы расчета амортизации. 104
4.1.21 Основные аспекты космической деятельности и международные организации по космосу. 104
4.1.22 Специфика космических исследований и их текущее состояние. 105
4.1.23 Структура Росавиакосмоса. Роль РАН в организации космической деятельности. 106
4.1.24 Ракета-носители России. Космодромы России и мира. 107
4.1.25 Задачи и обобщенные структуры командно-измерительного комплекса, центра управления полетом, командно-измерительного пункта. 108
4.1.26 Организация космической деятельности в США. 109
4.1.27 Основополагающие документы по космическому праву. 109
1. Обработка геопространственных данных
1.1 Дискретная математика и анализ данных
1.1.1 Множества, подмножества и операции над ними. Логические переменные и операции над ними. Описание операций над множествами с помощью логических операций.
Одним из неопределяемых понятий в математике является «множество». Этому понятию нельзя дать формального определения, которое не сводилось бы просто к замене слова «множество» его синонимами «совокупность», «набор элементов» и т.д.
Множества
чаще всего обозначаются прописными
буквами латинского алфавита:
,
а их элементы – строчными буквами:
Два
множества равны, если они состоят из
одних и тех же элементов:
Множество,
состоящее из элементов другого множества
– подмножество
данного множества:
Множества,
не состоящие не из одного элемента –
пустые
множества:
Любое пустое множество является подмножеством любого множества.
Множество, эквивалентное отрезку натурального ряда, называется конечным множеством (пустое множество тоже является конечным множеством).
Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.
Счетное множество – множество, каждому элементу которого можно поставить в соответствие элемент из натурального ряда чисел. Счетное множество – это бесконечное множество, элементы которого можно «перенумеровать» при помощи множества натуральных чисел, т.е. можно указать такой способ нумерации элементов множества, при котором каждый элемент множества получит свой единственный номер.
Упорядоченное
множество
(кортеж) - последовательность элементов,
расположенных в строго заданном порядке:
.
Если элементы кортежа являются элементами
численного множества, то такой кортеж
принято называть вектором, а сами
элементы этого кортежа – компонентами.
Универсальное множество – множество, по отношению к которому все остальные множества, формируемые для решения конкретной задачи или для конкретной области применения, является подмножеством данного множества.
Степень множества – множество всех подмножеств данного множества.
– множество
всех подмножеств
,
у которого мощность равна
Отношения между множествами:
1.
включено
в
,
если каждый элемент множества
принадлежит также и множеству
:
2.
включает
,
если
включено в
:
3.
равно
,
если
и
включены друг в друга:
4.
строго
включено
в
,
если
включено в
,
но не равно ему:
5.
строго
включает
,
если
строго включено в
:
6.
и
не
пересекаются,
если у них нет общих элементов:
7.
и
находятся
в общем положении,
если существуют элемент, принадлежащий
исключительно множеству
,
элемент, принадлежащий исключительно
множеству
,
а также элемент, принадлежащий обоим
множествам
Бинарные операции над множествами:
1.
Пересечением
двух множеств называется множество,
состоящее из всех элементов, принадлежащих
одновременно обоим множествам:
2.
Объединением
двух множеств называется множество,
состоящее из всех элементов, принадлежащих
хотя бы одному из этих множеств:
Если
множества
и
не пересекаются:
3.
Разность или относительное дополнение:
4.
Симметрическая разность:
5.
Декартово или прямое произведение:
Унарные операции над множествами:
1.
Абсолютное дополнение:
Операция
дополнения подразумевает некоторый
универсум (универсальное множество U,
которое содержит A):
2.
Мощность:
3.
Булеан или множество всех подмножеств:
Обозначение
происходит из того, что
в случае конечных множеств.
Свойства операций над множествами:
1.
(транзитивность)
2.
3.
(идемпотентность)
4.
5.
(коммутативность)
6.
(ассоциативность)
7.
(дистрибутивность)
8.
Закон де Моргана:
Логическая
переменная
- результат
утверждения, сформулированного в
повествовательной форме, при котором:
Бинарные операции:
1.
Конъюнкция
—
логическая операция, по своему применению
максимально приближённая к союзу "и".
2.
Дизъюнкция
— логическая операция, по своему
применению максимально приближённая
к союзу «или» в смысле «или то, или это,
или оба сразу».
3. Унарная операция — это операция над одним операндом (побитовое отрицание, унарный минус — меняет знак числа).
4.
Сложение по модулю 2
(«не равно», исключающее «ИЛИ», XOR,) —
логическая операция (функция), по своему
применению максимально приближённая
к грамматической конструкции «либо …
либо …» или «если операнды не равны, то
истинно».
5.
Штрих Шеффера
(«not
and»,
«И-НЕ»).
6.
Стрелка Пирса
(«ни
A, ни B»).
7.
Импликация
(по своему применению приближенная к
союзам «если… то…»).
Сводная таблица истинности булевых операций
Старшинство операций: отрицание; конъюнкция; дизъюнкция; импликация; эквивалентность. Скобки играют ту же роль, что и в алгебре.