Стратегія розв’язання задач функції багатьох змінних

Сформулюємо необхідні умови екстремуму 1 порядку в просторі R’’ без обмежень, які є аналогом теореми Ферма

Теорема 4.1 ( Необхідна умова екстремуму 1 порядку )

Нехай = ( , ,…, ) locextr f - точка локального екстремуму функції n-змінних f( ,…, ) і функція f ( ) діферінційована в точці , тоді градіент функції f( ) в точці дорівнює нулю, т.т.

f( )=0 (4.1)

або

=0, i=1,2,…,n (4.2)

Доведення. Розглянемо функцію однієї змінної

φ ) = ( , , …, )

Так як = ( , ,…, ) locextr f, то locextr φ. Крім того

𝜑 ( ).

По необхідній умові екстремуму для функції однієї змінної – теорема Ферма

𝜑’ ) =0 <=> =0 (4.3)

Означення 4.2 Точки = ( ,…, ), які задовільняють умови (4.1) або (4.2)

називаются стаціонарними.

Теорема 4.2 (Необхідні умови екстремуму другого порядку)

Нехай = ( , ,…, ) locextr f функції f(x) на Rⁿ і функція f(x) ( ). Тоді матриця Гессе H( функції f(x), яка обчислена в точці являється додатно означеною (від’ємно означеною), т.т

H( ≥0 (4.4)

H( (4.5)

Теорема 4.3 (Достатня умова екстремуму)

Нехай функція f(x) в точці R’’ двічі диференційована (f(x) ( )),

Ії градієнт дорівнює нулю, а матриця Гесе являються додатноозначеною (від’ємно означеною), т.т

f( )=0 і H( > 0 (4.6)

( f( )=0 і H( (4.7)

Тоді точка locmin(max) f на множині Rⁿ

Доведення. По формулі Тейлора f(x^*+h)=f(x^*)+ f( ), h + ∙ H(x^*) ∙ h+r(h), r(h) = 0(|h|²)

Доведемо теорему для випадок мінімуму . Випадок максимуму аналогічний.

Необхідність Так як locmin f , то, по-перше, по необхідній умові 1 порядку в просторі Rⁿ – аналогу теореми Ферма

f( )=0

По-другому

f( + h) - f( )≥0 при достатньо малих . Тому по формулі Тейлора

f( + h) - f( )= <f’’(x)h, h>+r(

(r( ²)) при малих h і фіксованому . Розділимо обидві частини останньої нерівності на ² и спрямуємо до нуля.

Так як 0, то одержимо, що

(h^T H(x^*) h) ≥ 0 ∀ h R²

Достатність. Так як f( )=0, то по формулі Тейлора в силу виконання умови (h^T H(x^*) h) ≥ λ|h|² маємо

F(x^*+h) – f(x^*) = h^TH(x^*)h + r(h) ≥ + |h|²+r(h)≥0

При достатньо малих h, таких як r(h) = 0 (|h|^*). Тому locmin f .

Для перевірки виконання достатніх умов екстремуму і виконання необхідних умов другого порядку використовуються 2 способи.

А. (критерій перевірки достатнії умов екстремуму (критерій Сільвестра).

1. Для того щоб матриця H(x^*) було додатньо означена (H(x^*)>0) і точка x^* являлась точкой локального мінімума, необхідно і достатньо, щоб знаки кутових мінорів були строго додатники:

>0, >0, … , >0 (4.8)

2. Для того щоб матриця Гесе H(x^*), була від’ємно означеною (H(x^*)<0) і точка x^* являлась точкою локального максимума необхідно і достатньо, щоб знаки кутових мінорів чередувалися, починаючи за від’ємного

<0, <0, … , (-1)ⁿ <0 (4.9)

Б. критерій перевірки необхідних умрв екстремуму другого порядку

1. Для того щоб матриця Гессе H(x^*) була знакододатньою (H(x^*) ≥0 ) і точка х^* можливо являлася такою локального мінімуму , необхідно і достатньо, щоб всі головні мінори визначника матриці Гессе були невід’ємними.

2. Для того щоб матриця Гессе H(x^*) була знаковід’ємною (H(x^*)≤0) і точка x^* можливо є точкою локального максимуму, необхідно і достатньо, щоб всі мінори парного порядку булі невід’ємними, а всі мінори непарного порядку – недодатніми.

Другий спосіб ( за допомогою власних чисел матриці Гессе).

Означення 4.3 Властиві значення матриці H(x^*) розміром nxn знаходяться як корні характиристичного рівняння:h

|H( )- E| = =0