3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций
Рассматриваются
два несобственных интеграла, каждый из
которых имеет одну особенность в точке
:
1)
и 2)
.
Теорема 1
(сравнения).
Пусть для
Тогда, если интеграл 2) сходится, то
сходится и интеграл 1), а если интеграл
1) расходится, то расходится и интеграл
2).
▲ Пусть интеграл
2) сходится и
Рассмотрим функцию
где
.
Эта функция не убывает и ограничена
сверху на
,
так как при
Но всякая неубывающая,
ограниченная сверху функция имеет
конечный предел, следовательно существует
конечный предел
т.е. интеграл 1) сходится.
Если же интеграл 1) расходится, то расходится и интеграл 2), так как если бы этот интеграл сходился, то, по уже доказанному утверждению, сходился бы и интеграл 1), что противоречит условию теоремы. ■
Замечание.
На самом деле для справедливости теоремы
достаточно выполнения неравенства
только
для
,
достаточно близких к
:
если
для
,
то
в правой части этой формулы первый
интеграл является некоторым числом, а
ко второму применима теорема 1.
Возможность применения теоремы сравнения зависит от справедливости неравенства , которое во многих случаях не является существенным для результата. Поэтому для исследования несобственных интегралов на сходимость часто более удобной оказывается следующая теорема.
Теорема 2 (сравнения
в предельной форме).
Пусть для
и
существует
,
где
.
Тогда интегралы 1) и 2) сходятся или
расходятся одновременно (что обозначается
как
~
).
При
из сходимости 2) следует сходимость 1),
а при
из расходимости 2) следует расходимость
1).
▲ Пусть интеграл
2) сходится. Так как
,
то для
,
достаточно близких к
,
,
и так как
тоже сходится, то, по замечанию к теореме
1, сходится и интеграл 1). Эта часть
доказательства справедлива и при
Пусть теперь
сходится интеграл 1). Так как
,
то, по уже доказанной первой части
теоремы, интеграл 2) тоже сходится.
Если
,
то
,
тогда из сходимости интеграла 1) следует
сходимость интеграла 2), а значит, из
расходимости интеграла 2) следует
расходимость интеграла 1) (доказательство
методом от противного: пусть 1) сходится,
тогда, как только что было отмечено,
сходится 2), а это не так). ■
В примерах в
качестве одного из интегралов 1) и 2)
берется исследуемый на сходимость
интеграл, а в качестве другого часто
берется один из интегралов, рассмотренных
в параграфе 2:
сходится при
и расходится при
;
сходится при
и расходится при
Пример 1. Исследовать
на сходимость несобственный интеграл
.
Решение.
.
Используем теорему 2:
~
,
а этот интеграл сходится
~
а
этот интеграл сходится
Т.е. исходный интеграл сходится (строгое
обоснование:
).
Пример 2.
Исследовать на сходимость несобственный
интеграл
.
Решение.
расходится,
так как, в силу первого замечательного
предела
~
,
а последний интеграл расходится (
).
4. Несобственные интегралы от функций произвольного знака
Определение 2.
Рассмотрим несобственный интеграл
с одной особенностью в точке
.
Этот интеграл называется абсолютно
сходящимся,
если сходится интеграл
.
Теорема 3. Если сходится, то тоже сходится, т.е. если несобственный интеграл абсолютно сходится, то он сходится в обычном смысле.
Введем
функции
,
,
тогда
.
Так как
,
,
то по теореме 1 из сходимости интеграла
следует сходимость интегралов
и
,
а отсюда, по свойству 3. параграфа 2,
следует сходимость интеграла
■
Замечание.
Пусть
абсолютно сходится. Так как при
,
то, переходя в этом неравенстве к пределу
при
,
получаем:
.
Определение 3.
Несобственный интеграл
называется условно
сходящимся,
если он сходится, а
расходится.
Пример.
Интеграл
условно сходится (без доказательства).